cau h cho minh di nhe 

cua minh co chu chip chip day

C/m BĐT phụ:   \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)  (*)      (x,y dương)

Ta có:   \(\left(x-y\right)^2\ge0\)       

\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)   (BĐT đã đc chứng minh)

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)

ÁP dụng BĐT (*) ta có:

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{p-a+p-b}=\frac{4}{2p-\left(a+b\right)}=\frac{4}{c}\)  (1)

\(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{p-b+p-c}=\frac{4}{2p-\left(b+c\right)}=\frac{4}{a}\)  (2)

\(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{p-c+p-a}=\frac{4}{2p-\left(c+a\right)}=\frac{4}{b}\) (3)

Lấy (1); (2); (3) cộng theo vế ta được:

          \(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)  (đpcm)

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)

Khi đó  \(\Delta ABC\)là tam giác đều

vì a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác áp dụng bđt tam giác ta có\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b>c\Rightarrow a+b-c>0\\a+c>b\Rightarrow a+c-b>0\\b+c>a\Rightarrow b+c-a>0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{a+b-c};\sqrt{a+c-b};\sqrt{b+c-a}\)luôn được xác định\(\left(\sqrt{a+b-c}-\sqrt{a+c-b}\right)>=0\Rightarrow a+b-c-2\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}+a+c-b\)\(>=0\Rightarrow a+b-c+a+c-b>=2\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}\Rightarrow\frac{a+b-c+a+c-b}{2}=\frac{2a}{2}\)

\(=a>=\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}\)

tương tự ta có :\(b>=\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)};c>=\sqrt{\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}\)

\(\Rightarrow abc>=\sqrt{\left(a+b-c\right)^2\left(a+c-b\right)^2\left(b+c-a\right)^2}=\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)\)

dấu = xảy ra khi a=b=c

dòng 3 là vì  \(\left(\sqrt{a+b-c}-\sqrt{a+c-b}\right)^2>=0\)nhá

Tìm điều gì của A em? Chứ với mỗi một bộ số a;b;c sẽ cho 1 kết quả A khác nhau rồi đó

Dạ  thầy là tìm gtnn của A ạ

\(A=\dfrac{a^2b}{abc}+\dfrac{a^2c}{abc}+\dfrac{ab^2}{abc}+\dfrac{b^2c}{abc}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a^2+b^2}{ab}+\dfrac{a+b}{c}\)

\(A=\dfrac{c^2}{ab}+\dfrac{a+b}{c}\ge\dfrac{4c^2}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{a+b}{c}\)

\(A\ge\dfrac{a+b}{2c}+\dfrac{a+b}{2c}+\dfrac{\sqrt{2}c^2}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{\left(4-\sqrt{2}\right)c^2}{\left(a+b\right)^2}\) 

\(A\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(a+b\right)^2\sqrt{2}c^2}{4c^2\left(a+b\right)^2}}+\dfrac{\left(4-\sqrt{2}\right)c^2}{2\left(a^2+b^2\right)}=2+\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{c}{\sqrt{2}}\)

Vì a:b:c là độ dài  cạnh tam giác nên \(\hept{\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b-c>0\\b+c-a>0\\c+a-b>0\end{cases}}}\)

Áp dụng bđt AM - GM ta có :

\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}\le\frac{a+b-c+b+c-a}{2}=\frac{2b}{2}=b\)(1)

\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)}\le\frac{a+b-c+c+a-b}{2}=\frac{2a}{2}=a\)(2)

\(\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}\le\frac{b+c-a+c+a-b}{2}=\frac{2c}{2}=c\)(3)

Nhân vế với vế của (1); (2);(3) lại ta được :

\(\sqrt{\left(a+b-c\right)^2\left(b+c-a\right)^2\left(c+a-b\right)^2}\le abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)(đpcm)

lên rùi nè nhanh lên

em gửi rồi nè