Cách 1: Sử dụng tính chất đường trung bình:

N là trung điểm của AB và M là trung điểm của AC => MN là đường trung bình của \(\Delta\)ABC.

=> MN//BC và MN=1/2BC (1)

I là trung điểm BG và K là trung điểm CG => IK là đường trung bình của \(\Delta\)BGC.

=> IK//BC và IK=1/2BC (2)

Từ (1); (2) => MN//IK và MN=IK (đpcm)

Cách 2: Chứng minh 2 tam giác bằng nhau:

G là trọng tâm của \(\Delta\)ABC => BG=2GM và CG=2GN.

Mả I là trung điểm của BG => BI=GI=GM

K là trung điểm của CG => CK=GK=GN

Xét \(\Delta\)IGK và \(\Delta\)MGN:

GI=GM

^IGK=^MGN       => \(\Delta\)IGK=\(\Delta\)MGN (c.g.c) 

GK=GN

=> MN=IK (2 cạnh tương ứng) và ^GIK=^GMN => MN//IK (So le trong)

Cách 3: Sử dụng tính chất đoạn chắn đảo:

Ta có: \(\Delta\)NIG=\(\Delta\)KMG (c.g.c) => ^NIG=^KMG (So le trong) => NI//KM.

Mả NI=KM (2 cạnh tương ứng) => MN//IK và MN=IK (đpcm)

xét tam giác BCG có I, K là trung điểm của BG, CG (gt)

=> IK là đường trung bình của tam giác

=> IK//BC  và IK=1/2 BC (1)

xét tam giác ABC có M, N là trung điểm của AB, AC (đường trung tuyến)

=> MN là đường trung bình của tam giác

=> MN//BC và MN=1/2 BC (2)

từ (1) và (2) => MN//IK//BC và MN=IK=1/2BC 

a. Xét tam giác AIN và tam giác CBN có:

IN = NB (giả thuyết)

góc ANI = góc CNB (hai góc đối đỉnh)

AN = NC (N là trung điểm của AC)

=> tam giác AIN = tam giác CBN (c.g.c)

=> góc NAI = góc NCB

=> AI // BC (vì có hai góc song le trong bằng nhau)

b. Xét tam giác AMK và tam giác BMC có:
AM = MB (M là trung điểm của AB)

góc AMK = góc BMC (hai góc đối đỉnh)

KM = MC (giả thuyết)

=> tam giác AMK = tam giác BMC (c.g.c)

=> AK = BC (2 cạnh tương ứng) (1)

Mà tam giác ANI = tam giác CNB (cmt)

=> AI = CB (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) => A là trung điểm của đoạn thẳng IK

\(\)

Được rồi, cách giải của bạn cũng đúng.

a. Chứng minh IK // DE và IK = DE

Gọi F là trung điểm của BC. Khi đó, theo tính chất trung tuyến, ta có: BF = FC = 1/2 BC và BD = 2/3 BG, CE = 2/3 CG. Do I và K là trung điểm của BG và CG nên BI = 1/2 BG, CK = 1/2 CG. Từ đó suy ra: BI = BD - DI = 2/3 BG - DI và CK = CE - EK = 2/3 CG - EK. Do DE // BC nên theo định lí Thales, ta có: DI / BI = EK / CK. Thay các giá trị đã tính được vào, ta được: DI / (2/3 BG - DI) = EK / (2/3 CG - EK). Rút gọn biểu thức trên, ta được: 3DI (BG - CG) = 3EK (BG - CG). Do BG - CG = BF - FC = 0 nên biểu thức trên luôn đúng với mọi DI và EK. Vậy IK // DE và IK = DE.

b. Chứng minh các tính chất yêu cầu

Do IK // DE nên theo định lí Thales, ta có: IM / IA = KN / AC. Do IA = AC nên IM = KN. Do PG // BC nên theo định lí Thales, ta có: PG / PA = GQ / QC. Do PA = QC nên PG = GQ. Do DE // BC nên theo định lí Thales, ta có: DE / BC = MI / MB. Do MB = 2MB’ với B’ là trung điểm của BC nên DE / (2MB’) = MI / MB. Nhân hai vế với 2, ta được: DE / MB’ = 2MI / MB. Do MB’ = MB nên DE = 3MI.