1. Phương pháp 1: ( Hình 1)

        Nếu  thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

    2. Phương pháp 2: ( Hình 2)

        Nếu AB // a và AC // a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

       (Cơ sở của phương pháp này là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7)

    3. Phương pháp 3: ( Hình 3)

        Nếu AB  a ; AC  A thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

        ( Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một đường thẳng

        a^’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước

        - tiết 3 hình học 7)

        Hoặc A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một

        đoạn thẳng .(tiết 3- hình 7)

    4. Phương pháp 4: ( Hình 4)

        Nếu tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy

        thì ba điểm O; A; B thẳng hàng.

        Cơ sở của phương pháp này là:                                                        

        Mỗi góc có một và chỉ một tia phân giác .

     * Hoặc : Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox ,

                   thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.

    5. Nếu K là trung điểm BD, K^’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K^’

       Là trung điểm BD  thì K^’  K thì A, K, C thẳng hàng.

      (Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm)

C. Các ví dụ minh họa cho tùng phương pháp:

                                                                Phương pháp 1

    Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA

                     (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm

                     D sao cho CD = AB.

                     Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.

     Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh

               Do nên cần chứng minh

BÀI GIẢI:

               AMB và CMD có:                                                       

                   AB = DC (gt).

                    MA = MC (M là trung điểm AC)                                              

               Do đó: AMB = CMD (c.g.c). Suy ra:

               Mà   (kề bù) nên .

               Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng.

    Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà  AD = AB, trên tia đối

                     tia AC lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED

                      sao cho CM = EN.

                    Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng.

Gợi ý: Chứng minh  từ đó suy ra ba điểm M; A; N thẳng hàng.

BÀI GIẢI (Sơ lược)

          ABC = ADE (c.g.c)

          ACM = AEN (c.g.c)

          Mà  (vì ba điểm E; A; C thẳng hàng) nên

Vậy ba điểm M; A; N thẳng hàng (đpcm)

BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 1

Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối

          của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và

          CD.

          Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có . Vẽ tia Cx  BC (tia Cx và điểm A ở

          phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên tia đối của tia

          BC lấy điểm F sao cho BF = BA.

          Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm

          E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường thẳng BC)

          Gọi M là trung điểm HK.

          Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.

Bài 4: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB, kẻ

          Hai tia Ax và By sao cho .Trên Ax lấy hai điểm C và E(E nằm giữa A và C),

          trên By lấy hai điểm D và F ( F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD, AE = BF.

          Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Bài 5.Cho tam giác ABC . Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các

          đường thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự tại D và E.

          Chứng minh các đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.

                                                              PHƯƠNG PHÁP 2

    Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên

                  Các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung  

                 điểm BD và N là trung điểm EC.

                  Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng.

Hướng dẫn: Xử dụng phương pháp 2                                            

                  Ta chứng minh AD // BC và AE // BC.

BÀI GIẢI.

                 BMC và DMA có:

                   MC = MA (do M là trung điểm AC)

                    (hai góc đối đỉnh)

                   MB = MD (do M là trung điểm BD)

                  Vậy: BMC = DMA (c.g.c)

                   Suy ra: , hai góc này ở vị trí so le trong nên BC // AD (1)

                   Chứng minh tương tự : BC // AE (2)

                   Điểm A ở ngoài BC có một và chỉ một đường thẳng song song BC nên từ (1)

                   và (2) và theo Tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng. 

   Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng  AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia

                 AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho

                 D là trung điểm AN. 

HẢi Anh có số kẹo là : 100 -30-25=45(cái)

Sau khi cho Hải anh còn:45-10=30(cái)

đ/s:a)45 cái

b)  30 cái

a) Hải Anh lúc đầu có số cái kẹo là :

      100 - 30 - 25 = 45 ( cái )

b) Sau khi cho Thoan thì Hải Anh còn là :

     45 - 10 = 35 ( cái )

                      Đ/s : a) 45 cái kẹo

                              b) 35 cái kẹo

Số kẹo Nhung còn lại sau khi cho chị là:

\(5-2=3\)(cái kẹo)

Số kẹo Nhung có sau khi mẹ mua thêm là:

\(3+6=9\)(cái keo)

Đáp số: 9 cái kẹo

Số kẹo Nhung còn lại sau khi cho chị là :

5 - 2 = 3

Số kẹo Nhung có sau khi mẹ mua thêm là : 

3 + 6 = 9

Nhung còn lại:

            45-20=25(chiếc)

Nhung còn lại

45-20=25 cái

Đáp số 25 cái kẹo

Ai ko mk mk ko lại

Nhung còn lại số kẹo là :

  \(45-20=25\)( cái kẹo )

Đáp số : 25 cái kẹo

Hà có: 12+2=14(cái)

Cả hai bn có:

14+12=26(cái)

ĐS: 26 cái kẹo

Hà có số kẹo là

12+2=14 cái 

Hai bạn có là

12+14=26 cái

Đáp số 26 cái kẹo

Tích mình mình tích lại

Số kẹo Hà có là:

12+2=14 (cái kẹo)

Số kẹo hai bạn có là:

12+14=26 (cái kẹo)

Đs: 26 cái kẹo

Nhi có: 20-3=17(cái)

Hai bn có: 20+17=37(cái)

ĐS: 37 cái kẹo

Nhi có số kẹo là

20-3=17 cái

Hai bạn có là

20+17=37 cái

Đáp số 37 cái kẹo

Tích mk mk tích lại

Nhi có số cái kẹo là:

20-3=17(cái )

Cả hai bạn có số cái kẹo là:

20+17=27(cái)

Đáp số 27 cái kẹo

Số cái kẹo Hồng có là:

   12+2=14 (cái kẹo)

Số cái kẹo cả hai bạn có là:

   12+14=26 (cái kẹo)

      Đáp số: 26 cái kẹo

Số kẹo của Hồng là

12+2=14 cái

Hai bạn có là

12+14=26 cái

Đáp số 26 cái

Nhung co 12 cái kẹo Hồng có nhiều hơn Nhung 2 cái.

=> hồng có 12+2=14 cái kẹo

Hai người có số cái kẹo là :

10 + 20 = 30 ( cái kẹo )

Đáp số 30 cái kẹo

Ai k mình k lại nhớ nếu ai k mk thì nhắn với mk mk k cho

Hai người có là

10+12=22 cái kẹo

Đáp số 22 cái kẹo

Cả 2 bạn có số cái kẹo là: 

      10 + 20 = 30 ( cái )

                  Đáp số: 30 cái kẹo

Cả hai bạn có số cái kẹo là : 

4 + 3 = 7 ( cái kẹo )

Đáp số : 7 cái kẹo
 

Hai bạn có là

4+3=7 cái

Đáp số 7 cái kẹo

hai bạn có 4+3 =7 cái

đs...............

Nhung có là

2 + 2 = 4 (cái) 

Hai bạn có 

2 + 4 = 6 (cái)

Đáp số: 6 cái kẹo

 nha! 

Hai bạn có tất cả số cái kẹo là:

2 + ( 2 + 2 ) = 6 ( cái )

Đ/S: 6 cái kẹo

Số kẹo hai bạn có là :

( 2 + 2 ) + 2 = 6 ( cái )

      Đáp số : 6 cái