Cho a + b + c = 1 va a2 + b2 + c2 = 1. Neu \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)
Chung minh: xy + yz + xz = 0
Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{x^2+yz}\)\(+\frac{1}{y^2+xz}+\frac{1}{z^2+xy}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)\)
lẽ ra x,y,z>0 chứ sao lại a,b,c>0 :))
Áp dụng bđt Cô-si:\(x^2+yz\ge2\sqrt{x^2.yz}=2x\sqrt{yz}\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+yz}\le\frac{1}{2x\sqrt{yz}}\)
tương tự: \(\frac{1}{y^2+xz}\le\frac{1}{2y\sqrt{xz}};\frac{1}{z^2+xy}\le\frac{1}{2z\sqrt{xy}}\)
=>\(\frac{1}{x^2+yz}\)\(+\frac{1}{y^2+xz}+\frac{1}{z^2+xy}\le\frac{1}{2x\sqrt{yz}}+\frac{1}{2y\sqrt{xz}}+\frac{1}{2z\sqrt{xy}}=\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{2xyz}\)
Mặt khác theo bđt Cô-si thì: \(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2};\sqrt{yz}\le\frac{y+z}{2};\sqrt{xz}\le\frac{x+z}{2}\)
=>\(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=x+y+z\)
=>\(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+xz}+\frac{1}{z^2+xy}\le\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{2xyz}\le\frac{x+y+z}{2xyz}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)\)
ta có đpcm.
Áp dụng cauchy cho mỗi mẫu số vế trái , có :
\(VT\le\frac{1}{2x\sqrt{yz}}+\frac{1}{2y\sqrt{xz}}+\frac{1}{2z\sqrt{xy}}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{x\sqrt{yz}}+\frac{1}{y\sqrt{xz}}+\frac{1}{z\sqrt{xy}}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\left(\frac{\sqrt{yz}}{xyz}+\frac{\sqrt{xz}}{xyz}+\frac{\sqrt{zx}}{xyz}\right)=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xz}}{xyz}\)
Biến đổi vế phải , có :
\(VP=\frac{1}{2}.\left(\frac{z}{xyz}+\frac{x}{xyz}+\frac{y}{xyz}\right)=\frac{1}{2}.\frac{x+y+z}{xyz}\)
Ta có :
\(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
<=> \(2x+2y+2z\ge2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2\sqrt{zx}\) (đúng - Hệ quả của Cauchy, lên mạng sợt là ra )
=> \(\frac{1}{2}.\frac{x+y+z}{xyz}\ge\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{xyz}\)
=> \(VP\ge VT\)
Cho a, b, c là các số ≠ 0
a+b+c=1 ; a2+b2+c2=1 và \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\)
Tính xy +yz + zx
Ta có
\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\Rightarrow\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2\) (1)
Ta có
\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\) (2)
Từ (1) và (2)
\(x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=0\)
Giúp tôi giải toán:
Cho y2 +yz+z2=a2; x2 +xz+z2=b2; x2 +xy+y2=c2 và xy+yz+zx=0
Chứng minh rằng: (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=0
Tôi xin chân thành cảm ơn!
tôi ms lớp 7
tick nhé mọi người
Cho a,b,c là các số dương thỏa a+b+c=1. Đặt
\(x=\frac{2ab}{a+b}\)\(y=\frac{2bc}{b+c}\)\(z=\frac{2ac}{c+a}\)Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{-xy+yz+xz}+\frac{1}{xy-yz+xz}+\frac{1}{xy+yz-xz}=\frac{1}{xyz}\)
Cho \(A=\frac{x-y}{1+xy};B=\frac{y-z}{1+yz};C=\frac{z-x}{1+xz}\)
Chứng minh : \(A+B+C=A.B.C\)
ta co A+B+C=...
QUY ĐỒNG BÌNH THƯỜNG
\(\left(x-y\right)\left(1+yz\right)\left(1+xz\right)+\left(y-z\right)\left(1+xy\right)\left(1+xz\right)+\left(z-x\right)\left(1+xy\right)\left(1+yz\right)\)
=\(\left(1+xz\right)\left(x+xyz-y-y^2z+y+xy^2-z-xyz\right)+\left(z-x\right)\left(1+xy\right)\left(1+yz\right)\)
=\(\left(1+xz\right)\left(-1-y^2\right)\left(z-x\right)+\left(z-x\right)\left(1+xy\right)\left(1+yz\right)\)
=\(\left(z-x\right)\left(yz-xz+xy-y^2\right)\)
tự giải tiếp
Ý hỏi cách làm nhanh, chứ k phải quy đồng bạn ơi.
Cho x,y,z,a,b,c khác 0 và \(\frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-xz}{b}=\frac{z^2-xy}{c}\).Chứng minh rằng \(\frac{a^2-bc}{x}=\frac{b^2-ac}{y}=\frac{c^2-ab}{z}\)
1.Cho \(a=\frac{x+k}{x-k};b=\frac{y+k}{y-k};c=\frac{z+k}{z-k}\)
Tính \(Q=ab+bc+ca\)
2. Cho x, y, z thuộc R với x, y, z khác -1
Tính \(A=\frac{xy+2y+1}{xy+x+y+1}+\frac{yz+2z+1}{yz+y+z+1}+\frac{xz+2x+1}{xz+x+z+1}\)
3. Cho \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1\)
Tính \(P=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\)
3) \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=1\)
\(\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)\left(a+b+c\right)=a+b+c\)
\(\dfrac{a^2+a\left(b+c\right)}{b+c}+\dfrac{b^2+b\left(a+c\right)}{a+c}+\dfrac{c^2+c\left(a+b\right)}{a+b}=a+b+c\)
\(\dfrac{a^2}{b+c}+a+\dfrac{b^2}{a+c}+b+\dfrac{c^2}{a+b}+c=a+b+c\)
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}=0\)
Vậy: \(P=0\)
1.Cho \(a=\frac{x+k}{x-k};b=\frac{y+k}{y-k};c=\frac{z+k}{z-k}\)
Tính \(Q=ab+bc+ca\)
2. Cho x, y, z thuộc R với x, y, z khác -1
Tính \(A=\frac{xy+2y+1}{xy+x+y+1}+\frac{yz+2z+1}{yz+y+z+1}+\frac{xz+2x+1}{xz+x+z+1}\)
3. Cho \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1\)
Tính \(P=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\)
tuổi con HN là :
50 : ( 1 + 4 ) = 10 ( tuổi )
tuổi bố HN là :
50 - 10 = 40 ( tuổi )
hiệu của hai bố con ko thay đổi nên hiệu vẫn là 30 tuổi
ta có sơ đồ : bố : |----|----|----|
con : |----| hiệu 30 tuổi
tuổi con khi đó là :
30 : ( 3 - 1 ) = 15 ( tuổi )
số năm mà bố gấp 3 tuổi con là :
15 - 10 = 5 ( năm )
ĐS : 5 năm
mình nha
1) Cho a,b,c >0. abc=1. cmr: (a+b)(b+c)(c+a)>= 2(1+a+b+c)
2) cho x,y,z>0 và \(^{x^2+y^2+z^2=3}\). cmr: \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}>=3\)
Câu 2: \(\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\right)^2=\left(\frac{xy}{z}\right)^2+\left(\frac{yz}{x}\right)^2+\left(\frac{xz}{y}\right)^2+2\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(=\left(\frac{xy}{z}\right)^2+\left(\frac{yz}{x}\right)^2+\left(\frac{xz}{y}\right)^2+6\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có :
\(\left(\frac{xy}{z}\right)^2+\left(\frac{yz}{x}\right)^2+\left(\frac{xz}{y}\right)^2\ge3\sqrt[3]{\left(\frac{xy}{z}\right)^2\left(\frac{yz}{x}\right)^2\left(\frac{xy}{y}\right)^2}=3\sqrt[3]{\frac{\left(xyz\right)^4}{\left(xyz\right)^2}}=3\)\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge\sqrt{3+6}=3\left(dpcm\right)\)
tại sao lại suy ra đc \(3\sqrt[3]{\frac{\left(xyz\right)^4}{\left(xyz\right)^{^2}}}=3\) vậy cậu?
mình nhìn nhầm đề tưởng xyz =1 ;))))
Áp dụng AM - GM
\(\left(\frac{xy}{z}\right)^2+\left(\frac{yz}{x}\right)^2\ge2y^2\)
\(\left(\frac{xy}{z}\right)^2+\left(\frac{xz}{y}\right)^2\ge2x^2\)
\(\left(\frac{zy}{x}\right)^2+\left(\frac{zx}{y}\right)^2\ge2y^2\)
cộng vế với vế có
\(2\left(\left(\frac{xy}{z}\right)^2+\left(\frac{yz}{x}\right)^2\left(\frac{xz}{y}\right)^2\right)\ge\left(x^2+y^2+z.^2\right).2\ge6\)
\(\left(\frac{xy}{z}\right)^2+\left(\frac{yz}{x}\right)^2+\left(\frac{xz}{y}\right)^2\ge3\)