a,Giả sử tích 2 số nguyên dương là 1 số chính phương

Gọi 2 số đó là \(x;x+1\left(x\inℕ^∗\right)\)

ta có:\(x\left(x+1\right)=a^2\left(a\inℤ|a\ne0\right)\)

Mà x và x+1 nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=b^2\\x+1=c^2\Rightarrow b^2+1=c^2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow1=c^2-b^2=\left(c-b\right)\left(c+b\right)\Rightarrow c-b=c+b\Rightarrow b=0\Rightarrow x=0\)(Trái với giả thuyết)

Vậy điều giả sử là sai,do đó tích 2 số nguyên dương ko là số chính phương(DPCM)

Giả sử có số thỏa mãn đề bài

Gọi 3 số đó là\(x-1;x;x+1\left(x\inℕ|x>1\right)\)

Ta có:\(\left(x-1\right)x\left(x+1\right)=a^2\)(điều kiện như câu a)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)x=a^2\Rightarrow\left(x^2-1\right)x=a^2\)

Gọi d là ước chung của x và\(x^2-1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2-1⋮d\\x⋮d\Rightarrow x^2⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x^2-\left(x^2-1\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\)

Do đó x và\(x^2-1\)nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=b^2\\x^2-1=\left(b^2\right)^2-1=c^2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(b^2\right)^2-1=c^2\Rightarrow\left(b^2\right)^2-c^2=1\Rightarrow\left(b^2-c\right)\left(b^2+c\right)=1\Rightarrow b^2-c=b^2+c\Leftrightarrow c=0\)

\(\Rightarrow\left(b^2\right)^2-1=0\Rightarrow\left(b^2\right)^2=1\Rightarrow b^2=1\Rightarrow x=1\)(Trái với giả thuyết)

Vậy điền giả sử là sai,do đó ko có số nguyên dương thỏa mãn đề bài(ĐPCM)

G/s 3 số nguyên dương đó là: \(a;a+1;a+2\) với \(a\inℕ\)

Ta có: \(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)=a^3+3a^2+2a\)

Xét: \(a^3+3a^2+2a>a^3\)

Mặt khác: \(a^3+3a^2+2a< a^3+3a^2+3a+1=\left(a+1\right)^3\)

=> \(a^3< a^3+3a^2+2a< \left(a+1\right)^3\)

Mà \(a^3;\left(a+1\right)^3\) là 2 số lập phương liên tiếp

=> \(a^3+3a^2+2a\) không là lập phương của 1 số tự nhiên

=> đpcm

Gọi 4 số nguyên dương liên tiếp là n, n+1, n+2, n+3.

Đặt S=n(n+1)(n+2)(n+3)

=n(n+3)(n+1)(n+2)=(n^2+3n)(n^2+3n+2)=(n^2+3n)^2 + 2(n^2+3n) +1 -1

=(n^2 +3n +1)^2 - 1 

Sử dụng tính chất kẹp giữa của số chính phương:

(n^2 + 3n)^2 < (n^2 + 3n + 1)^2 - 1 < (n^2 + 3n +1)

Trên đây là 2 số chính phương liên tiếp nên S không là số chính phương.

Gọi tích 4 số nguyên dương liên tiếp đó là A=(a-1)a(a+1)(a+2)

A = [(a-1)(a+2)][a(a+1)] = (a^2+2a-a-2)(a^2+a) = (a^2+a-2)(a^2+a)

Đặt a^2+a-1=x; thế thì A=(x-1)(x+1)=x^2-1 không phải là số chính phương

Gọi ba số nguyên dương liên tiếp lần lượt là n , n+1 , n+2 (\(n\in Z+\))

Ta có : \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)=\left(n^2+n\right)\left(n+2\right)=n^3+2n^2+n^2+2n=n^3+3n^2+2n\)

Mặt khác : \(n^3< n^3+3n^2+2n< n^3+3n^2+3n+1\)

\(\Rightarrow n^3< n^3+3n^2+2n< \left(n+1\right)^3\)(1)

Vì n là số nguyên dương nên từ (1) ta có \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) không là lập phương của một số tự nhiên.

Dây là 4 số  nguyên dương liên tiếp, còn phần  kia tương tự nha

Đặt A = n.(n+1)(n+2)(n+3) với n ≥ 1; n € N 
A = [n.(n+3)].[(n+1)(n+2)] = (n² + 3n).(n²+3n+2) 
= t(t+2) (với t = n² + 3n ≥ 4 ; t € N) 
Ta thấy 
t² < A = t² + 2t < t² + 2t + 1 = (t+1)² 
=> A nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp 
=> A không phải là số chính phương (đpcm)

bạn ơi, mấy bn hok giỏi ko onl ùi

chắc tại mưa nên mấy bn ấy k onl