Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn xyz=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(E=\frac{1}{x^3\left(y+z\right)}+\frac{1}{y^3\left(z+x\right)}+\frac{1}{z^3\left(x+y\right)}\)
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=1 . Tìm giá trị nhỏ hất của biểu thức \(E=\frac{1}{x^3\left(y+z\right)}+\frac{1}{y^3\left(z+x\right)}+\frac{1}{z^3\left(x+y\right)}\)
\(E= {\sum {(yz)^2 \over xy+zx}}\)>=3/2 (AD BĐT Nesbit)
Dấu = xảy ra <=>x=y=z=1
đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\Rightarrow abc=\frac{1}{xyz}=1\)
Ta có : \(x+y=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=c\left(a+b\right)\)
Tương tự : \(y+z=a\left(b+c\right);x+z=b\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow E=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow E\ge\frac{3}{2}\)
Vậy GTNN của E là \(\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
1 cách khác Engel nữa,
\(E=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\)
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski,ta có :
\(\left(a+b+c\right)^2=\left(\frac{a}{\sqrt{b+c}}.\sqrt{b+c}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}.\sqrt{c+a}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}.\sqrt{a+b}\right)^2\)
\(\le\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\right)\left(2a+2b+2c\right)\)
\(\Rightarrow E\ge\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}\)
Vậy ....
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z+xyz=4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=\(\left(1+\frac{x}{y}+xz\right)\left(1+\frac{y}{z}+yz\right)\left(1+\frac{z}{x}+xz\right)\)
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A=\frac{x^3}{\left(y+z\right)\left(y+2z\right)}+\frac{y^3}{\left(z+x\right)\left(z+2x\right)}+\frac{z^3}{\left(x+y\right)\left(x+2y\right)}\)
Ta có
\(\frac{x^3}{\left(y+z\right)\left(y+2z\right)}+\frac{y+z}{12}+\frac{y+2z}{18}\ge\frac{3x}{6}=\frac{x}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{\left(y+z\right)\left(y+2z\right)}\ge-\frac{y+z}{12}-\frac{y+2z}{18}+\frac{x}{2}=\frac{18x-7z-5y}{36}\)
Tương tự ta có
\(\frac{y^3}{\left(z+x\right)\left(z+2x\right)}\ge\frac{18y-7x-5z}{36}\)
\(\frac{z^3}{\left(x+y\right)\left(x+2y\right)}\ge\frac{18z-7y-5x}{36}\)
Cộng vế theo vế ta được
\(A\ge\frac{18x-7z-5y}{36}+\frac{18y-7x-5z}{36}+\frac{18z-7y-5x}{36}\)
\(=\frac{x+y+z}{6}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{6}=\frac{3.2}{6}=1\)
Dấu = xảy ra khi x = y = z = 2
alibaba nguyễn Đúng rồi! Muốn k cho bạn lắm nhưng không hiểu sao cái nút "ĐÚNG" nó đơ mất rồi :(
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x + y + xyz = z. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(P=\frac{2x}{\sqrt{\left(x^2+1\right)^3}}+\frac{x^2\left(1+\sqrt{yz}\right)^2}{\left(y+z\right)\left(x^2+1\right)}\)
Cho x,y,z là các số dương thay đổi và luôn thỏa mãn điều kiện xyz=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Vì xyz=1\(\Rightarrow x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x\sqrt{x}\)
Tương tự \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2=\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}=a;y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}=b;z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}=c\)
\(\Rightarrow x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9};y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9};z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{a}+\frac{4b+c-2a}{b}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\text{ }\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\ge\frac{2}{9}\left(4.3+2-6\right)=2\)
Min P =2 khi và chỉ khi a=b=c khi va chỉ khi x=y=z=1
cho x;y;z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=3xyz.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A=\frac{yz}{x^3\left(z+2y\right)}+\frac{zx}{y^3\left(x+2z\right)}+\frac{xy}{z^3\left(y+2x\right)}\)
cho 3 số thực dương x;y;z thỏa mãn x+y+z<=3/2. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(zx+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y=z-1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P=\frac{x^3y^3}{\left(x+1\right)^3\left(y+1\right)^3\left(x+y\right)^2}\)
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x + y + xyz = z. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{2x}{\sqrt{\left(x^2+1\right)^3}}+\frac{x^2\left(1+\sqrt{yz}\right)^2}{\left(y+z\right)\left(x^2+1\right)}..\)
g