Giải:

Vì tích của \(3\) số gần nhau bằng \(-1\)nên có \(2\) trường hợp xảy ra :

Trường hợp 1: Có 120 số xếp vòng tròn nên có hai số 1 và một số -1 chúng được xếp theo thứ tự:

1; 1; -1; 1; 1; -1; .........

Vậy tổng của chúng là : 40.

Trường hợp 2 : Có 120 số xếp vòng tròn và có hai số -1 và một số 1. Tổng chúng là -40.

Lời giải:
Xếp $120$ số nhận giá trị $1$ hoặc $-1$ là $a_1,a_2,a_3,...,a_{120}$ theo thứ tự vào vòng tròn. Theo bài ra ta có:

$a_1a_2a_3=-1$

$a_2a_3a_4=-1$

$\Rightarrow a_1a_4(a_2a_3)^2=1$

$\Rightarrow a_1a_4=1$

$\Rightarrow a_1,a_4$ nhận cùng giá trị 

Tương tự, ta có $(*)$

$a_1,a_4,a_7, ....., a_{118}$ cùng giá trị 

$a_2,a_5,a_8,....,a_{119}$ cùng giá trị 

$a_3,a_6,....,a_{120}$ cùng giá trị 

Vì $a_1a_2a_3=-1$ nên xảy ra 2 TH:

TH1: Cả 3 số đều bằng $-1$

Kết hợp với $(*)$ suy ra tất cả đều $=-1$

$\Rightarrow$ tổng 120 số là $-120$

TH2: Hai số bằng 1, một số bằng $-1$

Như vậy: Có 40+40=80 số bằng $1$ và 40 số bằng $-1$

Tổng 120 số là: $80+40.(-1)=40$

Gọi 120 số 1 hoặc -1 đó lần lượt là a₁; a₂; a₃; ...; a₁₂₀. Theo đề ta có:

a₁.a₂.a₃ = -1; a₂.a₃.a₄ = -1; a₃.a₄.a₅ = -1; ...;

a₁₁₈.a₁₁₉.a₁₂₀ = -1; a₁₁₉.a₁₂₀.a₁ = -1; a₁₂₀.a₁.a₂ = -1.

\(a_1=a_4=\dfrac{1}{a_2\cdot a_3}\); \(a_2=a_5=\dfrac{1}{a_3\cdot a_4}\); \(a_3=a_6=\dfrac{1}{a_4\cdot a_5}\); ...;

\(a_{118}=a_1=\dfrac{1}{a_{119}\cdot a_{120}}\); \(a_{119}=a_2=\dfrac{1}{a_{120}\cdot a_1}\); \(a_{120}=a_3=\dfrac{1}{a_1\cdot a_2}\).

Từ đây ta suy ra \(a_1=a_4=a_7=...=a_{118}\); \(a_2=a_5=a_8=...=a_{119}\); \(a_3=a_6=a_9=...=a_{120}\). (1)

Do đó \(a_1=\dfrac{1}{a_2\cdot a_3}\); \(a_2=\dfrac{1}{a_3\cdot a_1}\); \(a_3=\dfrac{1}{a_1\cdot a_2}\). Mà a₁.a₂.a₃ = -1 và các số a₁; a₂; a₃; ...; a₁₂₀ chỉ có thể là 1 hoặc -1 nên chỉ có một nghiệm duy nhất \(a_1=a_2=a_3=-1\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra có 120 số -1, nên tổng của 120 số đó là \(120\cdot\left(-1\right)=-120\).

Bg (tự vẽ hình nhé sir/madam)

Có 2 trường hợp (TH):

TH1: trong ba số liên tiếp bất kỳ sẽ có 1; -1; 1

Tổng của hai số liền kề nhau là: (tính thành cặp)

   1 + (-1) = 0

Số cặp trong 120 số đó là:

   120 ÷ 2 = 60 (cặp)

Tổng của 120 số đó là:

   0.60 = 0

TH2: Tất cả mọi số đều là -1

Tổng của 120 số đó là: 

   120.(-1) = -120

Vậy tổng 120 số đó là 0 hoặc -120