Đặt BC=a; AC=b; AB=c

Từ M dựng các đường vuông góc với BC; AC; AB cắt lần lượt tại D;E;F

Đặt MD=x; ME=y; MF=z

\(S_{ABC}=S_{MBC}+S_{MAC}+S_{MAB}=\frac{ax+by+cz}{2}\) áp dụng bđt cosi

\(\frac{ax+by+cz}{3}\ge\sqrt[3]{ax.by.cx}\Rightarrow\frac{ax+by+cz}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{ax.by.cz}}{2}\)

\(\Rightarrow S_{ABC}\ge\frac{3.\sqrt[3]{ax.by.cz}}{2}=\frac{3\sqrt[3]{abc}.\sqrt[3]{xyz}}{2}\Rightarrow\sqrt[3]{xyz}\le\frac{2.S_{ABC}}{3.\sqrt[3]{abc}}\)

\(\Rightarrow xyz\le\frac{8.S^3_{ABC}}{27abc}\) xyz lơn nhất khi \(xyz=\frac{8.S^3_{ABC}}{27abc}=const\)

Dấu = xảy ra khi ax=by=cz \(\Rightarrow S_{MBC}=S_{MAC}=S_{MAB}\)

Nối AM cắt BC tại K, Từ B và C dựng đường vuông góc với AK cắt AK lần lượt tại P và Q

Xét tg MAB và tg MAC có chung đáy AM và S(MAB)=S(MAC) => hai đường cao tương ứng BP=CQ

Xét tg vuông BKP và tg vuông CKQ có 

^PBK = ^QCK (góc so le trong)

BP=CQ (cmt)

=> tg BKP = tg CKQ (hai tg vuông có cạnh góc vuông và góc nhọn tương ứng bằng nhau) => BK=CK => AM là trung tuyến của tg ABC

C/m tương tự ta cũng có BM, CM là trung tuyến của tg ABC

=> M là trọng tâm của tg ABC

AO cắt BC tại I kẻ BE vg AI ,

CF vg AI Sabm= AO.BE/2 <= AO. BI/2

Cmtt S amc <= AM.CI/2

suy ra Sabmc <= AM.BC/2

Cmtt => Sabc<= AM.BC+BM.CA+CM.AB

dấu "=" xảy ra khi M là trực tâm