3x+5y=501 
=> x=(501-5y)/3 =167 - 5.y/3 
x,y nguyên dương 
=> 167 - 5/3y>0 và 5.y/3 nguyên 
=> 1<=y<=100 và y chia hết cho 3. 
Từ 1 đến 100 có 33 số chia hết cho 3. 
Vậy có 33 nghiệm nguyên dương của phương trình 3x + 5y =501

ta có : 3x chia hết cho 3        (1)

            501 chia hết cho 3       (2) 

từ (1) và (2) => 5y chia hết cho 3

mà (3;5) = 1 ( nguyên tố cùng nhau ) 

nên y chia hết cho 3 

vậy y = 3k 

thay y=3k vào phương trình ta có :

3x + 15k = 501 

\(<=>x=\frac{501-5k}{3}\)

Lời giải:

Vì $5y=501-3x\vdots 3$ nên $y\vdots 3$

Đặt $y=3y_1$ với $y_1\in\mathbb{Z}^+$ thì:

$3x+15y_1=501$

$x+5y_1=167$

$5y_1=167-x\leq 166$

$\Rightarrow y_1\leq 33,2$. Mà $y_1$ nguyên dương nên $y_1\in\left\{1;2;...;33\right\}$

Tức là $y_1$ có 33 giá trị thỏa mãn, kéo theo có 33 giá trị $x,y$ tương ứng thỏa mãn.

Vậy PT có 33 cặp nghiệm nguyên dương.

Vì (3;5)=1 nên pt có nghiệm nguyên

\(3x-5y=9\\ \Rightarrow y=\frac{3x-9}{5}=\frac{1-2x}{5}+x-2\)

Đặt t=\(\frac{1-2x}{5}\left(t\in Z\right)\)

\(\Rightarrow x=\frac{1-5t}{2}\)\(=\frac{t-1}{2}+1-3t\)

Đặt n=\(\frac{t-1}{2}\left(n\in Z\right)\)\(\Rightarrow t=2n+1\)

\(\Rightarrow\begin{cases}y=t+x-2\\x=n+1-3t\\t=2n+1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=-3n-3\\x=-5n-2\end{cases}\left(n\in Z\right)}}\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{3x-9}{5}=\dfrac{3\left(x-3\right)}{5}\)\(\Rightarrow x-3⋮5\)\(\Rightarrow x=5k+3\left(k\in Z\right)\)\(\Rightarrow y=\dfrac{3.5k}{5}=3k\)

Vậy pt có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát (x;y)=(5k+3\(\left(k\in Z\right)\) ;3k).