Từ \(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=-\left(b+c\right)\\b=-\left(a+c\right)\\c=-\left(a+b\right)\end{cases}}\)

Từ \(x+y+z=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-\left(y+z\right)\\y=-\left(x+z\right)\\z=-\left(x+y\right)\end{cases}}\)

Thay vào \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-\left(b+c\right)}{-\left(y+z\right)}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)

\(\Rightarrow2byz+2cyz+bz^2+cy^2=0\)

\(\Rightarrow-\left(b+c\right).-\left(y+z\right)^2+by^2+cz^2=0\)

\(\Rightarrow\text{ax}^2+by^2+cz^2=0\)(dpcm)

Suy ngược nha k chắc

từ x + y + z = 0 suy ra x² = ( y + z )² , y² = ( x + z )² , z² = ( x + y )² 

do đó :

ax² + by² + cz² = a ( y + z )² + b ( x + z )² + c ( x + y )²

= a ( y² + 2yz + z² ) + b ( x² + 2xz + z² ) + c ( x² + 2xy + y² )

= x² ( b + c ) + y² ( a + c ) + z² ( a + b ) + 2 ( ayz + bxz + cxy )                   ( 1 )

thay b + c = -a ; a + c = -b ; a + b = -c do a + b +c = 0 và thay ayz + bxz + cxy = 0 do \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)vào ( 1 )

Ta được : ax² + by² + cz² = -ax² - by² - cz² 

nên 2 ( ax² + by² + cz² ) = 0 \(\Rightarrow\)ax² + by² + cz² = 0

Đề thiếu???

Ta có x+y +z =0 =>x^2 =(y+z)^2 ;y^2=(x+z)^2;z^2=(y+x)^2

=>ax^2+by^2+cz^2=a(y+z)^2+b(x+z)^2+c(y+x)^2

=>(b+c)x^2+(a+c)y^2+(a+b)z^2+2(ayz+bxz+cyz)             (1)

Tu a+b+c=0=>-a=b+c;-b=a+c;-c=a+b                    (2)

Tu a/x+b/y+c/x =0=>ayz+bxz+cxy/xyz=0=>ayz+bxz+cxy = 0                   (3)

Thay (2) va (3 ) va (1) ta dc :ax^2+by^2+cz^2=-(ax^2+by^2+cz^2)=>ax^2+by^2+cz^2=0

(Hai số đối nhau mà bằng nhau chỉ có số 0)

hình như bạn làm sai bạn ạ

phía trên làm đúng rồi

xin lỗi bạn 

đáp án mình là 495

Ta có : \(x+y+z=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-\left(y+z\right)\\y=-\left(z+x\right)\\z=-\left(x+y\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2=\left(y+z\right)^2\\y^2=\left(z+x\right)^2\\z=\left(x+y\right)^2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow ax^2+by^2+cz^2=a\left(y+z\right)^2+b\left(z+x\right)^2+c\left(x+y\right)^2\)

                                       \(=ay^2+az^2+bz^2+bx^2+cx^2+cy^2+2\left(ayz+bzx+cxy\right)\) 

                                       \(=x^2\left(b+c\right)+y^2\left(c+a\right)+z^2\left(a+b\right)+2\left(ayz+bzx+cxy\right)\left(1\right)\)

Từ \(a+b+c=0\)                    \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c=-a\\c+a=-b\\a+b=-c\end{cases}}\) 

Thay vào \(\left(1\right)\), ta được :

\(ax^2+by^2+cz^2=-ax^2-by^2-cz^2+2\left(ayz+bzx+cxy\right)\)

Ta có : \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)\(\Rightarrow ayz+bzx+cxy=0\)

\(\Rightarrow ax^2+by^2+cz^2=-ax^2-by^2-cz^2\)

\(\Rightarrow2\left(ax^2+by^2+cz^2\right)=0\)

\(\Rightarrow ax^2+by^2+cz^2=0\left(đpcm\right)\)

nhân lên rồi áp dụng BĐT bunhiacopxki

\(\frac{\left(ax+by+cz\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=a^2+b^2+c^2\)

\(\left(ax+by+cz\right)^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2\right)+c^2\)

Khai triển và rút gọn ta được: 

\(2abxy+2acxz+2bcyz=a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2\)

Gom các hạng tử lai thành hằng đẳng thức: 

\(\left(ay-bx\right)^2+\left(az-cx\right)^2+\left(cy-bz\right)^2=0\)

Mà bình phương của các số thì \(\ge\)0 nó chỉ bằng 0 khi và chỉ khi từng hạng tử =0 

nên: \(\hept{\begin{cases}ay-bx=0\\az-cx=0\\cy-bz=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}ay=bx\rightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\\az=cx\rightarrow\frac{a}{x}=\frac{c}{z}\\cy=bz\rightarrow\frac{c}{z}=\frac{b}{y}\end{cases}}}\) 

=>Đpcm 

Đặt \(A=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{ab\left(x-y\right)^2+bc\left(y-z\right)^2+cz\left(z-x\right)}\)

Từ ax+by+cz=0

=>(ax+by+cz)²=0

=>a²x²+b²y²+c²z²+2axby+2bycz+2czax=0

=>a²x²+b²y²+c²z²=-2(ax+by+byca+czax)

Xét mẫu thức: \(ab\left(x-y\right)^2+bc\left(y-z\right)^2+ca\left(z-x\right)^2\)

\(=ab\left(x^2-2xy+y^2\right)+bc\left(y^2-2yz+z^2\right)+ca\left(z^2-2zx+x^2\right)\)

\(=abx^2-2abxy+aby^2+bcy^2-2bcyz+bcz^2+caz^2-2cazx+cax^2\)

\(=\left(abx^2+bcz^2\right)+\left(aby^2+acz^2\right)+\left(acx^2+bcy^2\right)-2\left(abxy+bcyz+cazx\right)\)

\(=\left(aby^2+acz^2\right)+\left(abx^2+bcz^2\right)+\left(acx^2+bcy^2\right)+a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2\)

\(=\left(a^2x^2+aby^2+acz^2\right)+\left(abx^2+b^2y^2+bcz^2\right)+\left(acx^2+bcy^2+c^2z^2\right)\)

\(=a\left(ax^2+by^2+cz^2\right)+b\left(ax^2+by^2+cz^2\right)+c\left(ax^2+by^2+cz^2\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(ax^2+by^2+cz^2\right)\)

Do đó: \(A=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{\left(a+b+c\right)\left(ax^2+by^2+cz^2\right)}=\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{\frac{1}{2018}}=2018\) (dpcm)

bài ở đâu mà hay vậy bạn