\(\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\frac{2}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\frac{\left(n+1\right)-\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)

\(=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]\)

Ta có đpcm. 

1. D= 1/3 + 1/3.4 + 1/3.4.5 + 1/3.4.5....n < 1/2 + 1/3.4 + 1/4.5 + ...+ 1/ n.(n-1)

=> còn lại thì bạn có thể tự chứng minh

mk chả hiểu j

 Xét vế phải: \(\frac{1}{n\left(n+1\right)}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)

= \(\frac{n+2}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)

= \(\frac{n+2-n}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)

= \(\frac{2}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)   

= VT

=> Đpcm
 

quy đồng là ra ngay đó mà

Ta có \(\frac{1}{n\left(n+1\right)}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)

\(=\frac{\left(n+2\right)-n}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{2}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\) (đpcm)

Áp dụng công thức trên ta có

A\(=\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{2015\cdot2016\cdot2017}\)

\(\Leftrightarrow2A=\frac{2}{1\cdot2\cdot3}+\frac{2}{2\cdot3\cdot4}+...+\frac{2}{2015\cdot2016\cdot2017}\)

\(\Leftrightarrow2A=\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3}-\frac{2}{3\cdot4}+....+\frac{1}{2015\cdot2016}-\frac{1}{2016\cdot2017}\)

\(\Leftrightarrow2A=\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2016\cdot2017}\)

\(\Rightarrow A=\left(\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2016\cdot2017}\right)\div2\approx0.25\)

Vậy A\(\approx0.25\)

\(Q=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

\(Q=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\)

gọi d là UCLN của n,(n+1) ta có:

\(\hept{\begin{cases}n⋮d\\n+1⋮d\end{cases}\Rightarrow n+1-n⋮d\Rightarrow d=1}\)

=> Q là p/s tối giãn mà n khác 0 => Q ko thuộc Z

a) \(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)

b) \(\frac{1}{q}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+q}\right)=\frac{1}{q}\left(\frac{n+q}{n\left(n+q\right)}-\frac{n}{n\left(n+q\right)}\right)=\frac{1}{q}.\frac{q}{n\left(n+q\right)}=\frac{1}{n\left(n+q\right)}\)

a/  Xét mẫu số VP_  n và n+1 là 2 số liên tiếp 

\(\Rightarrow\left(n,n+1\right)\)bằng 1

Thay vào đề bài     \(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)bằng   \(\frac{n+1}{n.\left(n+1\right)}-\frac{n}{n.\left(n+1\right)}\)bằng \(\frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}\)

\(\Rightarrowđpcm\)

P/s _laptop ko gõ đc dấu