Vì | x -3 | > hoặc = 0

Suy ra : |x-3|+50 >hoặc =50

Vì A nhỏ nhất suy ra | x-3 | +50 =50

Suy ra x-3 =0

Suy ra x=3

Vậy GTNN của A = 50 khi x=3

Ta có:  A=\(3.\left(x+2\right)^2+\left(1-y\right)^2+2016\)

    Vì \(3.\left(x+2\right)^2\ge0;\left(1-y\right)^2\ge0\)

     \(\Leftrightarrow A\ge2016\)

   Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+2=0\\1-y=0\end{matrix}\right.\)

      \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=1\end{matrix}\right.\)

 Vậy MinA=2016 khi và chỉ khi x=-2;y=1

A = |x| + 2017

\(\left|x\right|\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left|x\right|+2017\ge2017\forall x\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left|x\right|=0\Leftrightarrow x=0\)

Vậy GTNN của A = 2017 \(\Leftrightarrow x=0\)

B = |5 - y| + 2016

\(\left|5-y\right|\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow\left|5-y\right|+2016\ge2016\forall y\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left|5-y\right|=0\Leftrightarrow5-y=0\Leftrightarrow y=5\)

Vậy GTNN của B = 2016 \(\Leftrightarrow y=5\)

Ta có : \(\frac{3n^3+10n^2-5}{3n+1}=n^2+3n-\frac{6}{3n+1}\)

Để \(3n^3+10n^2-5⋮3n+1\) \(\Leftrightarrow6⋮3n+1\)

\(\Rightarrow3n+1\inƯ\left(6\right)=\left\{-6;-3;-2;-1;1;2;3;6\right\}\)

\(\Rightarrow3n=\left\{-7;-4;-3;-2;0;1;2;5\right\}\)

\(\Rightarrow n=\left\{-\frac{7}{3};-\frac{4}{3};-1;-\frac{2}{3};0;\frac{1}{3};\frac{2}{3};\frac{5}{3}\right\}\)

Mà n là số nguyên nên \(n=\left\{-1;0\right\}\)

Áp dụng BĐT giá trị tuyệt đối: \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)

Ta có:\(M=\left(\left|-x+1\right|+\left|x-3\right|\right)+\left|x-2\right|\ge\left|-x+1+x-3\right|+\left|x-2\right|=2+\left|x-2\right|\ge2\) với mọi x

Do đó M_Min=2

\(M=2\Leftrightarrow\int^{\left(-x+1\right).\left(x-3\right)\ge0}_{x=2}\Leftrightarrow\int^{1\le x\le3}_{x=2}\Leftrightarrow x=2\)

Vậy M_Min=2 tại x=2
 

GTNN của M  =6

a)

Ta có : \(A=\left|x-2\right|+\left|x-5\right|=\left|x-2\right|+\left|5-x\right|\ge\left|x-2+5-x\right|=3\)

\(\Rightarrow A\ge3\)

Dấu " = " xảy ra khi \(\begin{cases}x-2\ge0\\5-x\ge0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow2\le x\le5\)

Vậy MIN_A=3 khi \(2\le x\le5\)

b)

Ta có :

\(\begin{cases}\left|x-1\right|+\left|x-2016\right|\ge\left|x-1+2016-x\right|=2015\\\left|x-2\right|+\left|x-2015\right|\ge\left|x-2+2015-x\right|=2013\\...\\\left|x-1008\right|+\left|x-1009\right|\ge\left|x-1008+1009-x\right|=1\end{cases}\)

\(\Rightarrow B\ge1+3+....+2015\)=1016064

Dấu " = " xảy ra khi \(\begin{cases}\begin{cases}x-1\ge0\\2016-x\ge0\end{cases}\\....\\\begin{cases}x-1008\ge0\\1009-x\ge0\end{cases}\end{cases}\)\(\Rightarrow1008\le x\le1009\)

Vậy ...........

A = |x - 2| + |x - 5|

A = |x - 2| + |5 - x|

Áp dụng bđt \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\) \(\forall x;y\)ta có:

\(A=\left|x-2\right|+\left|5-x\right|\ge\left(x-2\right)+\left(5-x\right)=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}x-2\ge0\\x-5\le0\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}x\ge2\\x\le5\end{cases}\)\(\Rightarrow2\le x\le5\)

Vậy GTNN của A là 3 khi \(2\le x\le5\)

B = |x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + ... + |x - 2016|

B = |x - 1| + |x - 2| + ... + |x - 1008| + |x - 1009| + |x - 1010| + ... + |x - 2016|

B = |x - 1| + |x - 2| + ... + |x - 1008| + |1009 - x| + |1010 - x| + ... + |2016 - x|

Áp dụng bđt \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\)\(\forall x;y\) ta có:

\(B=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+...+\left|x-1008\right|+\left|1009-x\right|+\left|1010-x\right|+...+\left|2016-x\right|\)

\(\ge\left(x-1\right)+\left(x-2\right)+...+\left(x-1008\right)+\left(1009-x\right)+\left(1010-x\right)+...+\left(2016-x\right)\)

\(B\ge1008^2=1016064\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}x-1\ge0\\1009-x\le0\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}x\ge1\\x\le1009\end{cases}\)\(\Rightarrow1\le x\le1009\)

Vây GTNN của B là 1016064 khi \(1\le x\le1009\)

A=3

B=2015

|x-3|;|x+7| > 0

=>F > -111+0=-111

=>F_min=-111

dấu "=" xảy ra<=>x=3;x=-7