Gọi UCLN (4n+7; 2n+3) là d

ta có: 4n + 7 chia hết cho d

2n + 3 chia hết cho d => 4n + 6 chia hết cho d

=> 4n + 7 - 4n - 6 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> (4n+7)/(2n+3) là p/s tối giản

Muốn chứng tỏ phân số \(\frac{4n+7}{2n+3}\)là phân số tối giản thì ta phải chứng minh được ( 4n+7; 2n + 3 ) = 1

Gọi d là ƯCLN( 4n + 7; 2n + 3 ). Ta có:

\(\hept{\begin{cases}4n+7⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}4n+7⋮d\\2\left(2n+3\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}4n+7⋮d\\4n+6⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\left(4n+7\right)-\left(4n+6\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

=> Phân số \(\frac{4n+7}{2n+3}\)tối giản. ( ĐPCM )

Gọi d = UCLN ( 4n+7; 2n+3)

Ta có:\(\hept{\begin{cases}4n+7⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\)

     \(\Rightarrow2\left(2n+3\right)⋮d\)

Hay \(4n+6⋮d\)

Ta xét tích: \(4n+7-\left(4n+6\right)⋮d\)

                 \(=1⋮d\)

Vậy phân số \(\frac{4n+7}{2n+3}\)là phân số tối giản ( vì phân số tối giản có UCLN là 1 nha!!!)

Chúc bạn hok tốt!!!

Gợi Ư CLN\(\left(2n+3;4n+8\right)=d\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\Rightarrow2.\left(2n+3\right)⋮d\Rightarrow4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(4n+8\right)-\left(4n+6\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\Rightarrow d=1;2\)

\(+d=2\Rightarrow2n+3⋮2\)

Mak 2n+3 ko chia hết cho 2

\(\Rightarrow d\ne2\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrowđpcm\)

a) Vì phân số n+1/2n+3 tối giản với mọi phân số nên ƯCLN(n+1; 2n+3) =1. Gọi ƯCLN(n+1; 2n+3) = d

=> n+1 \(⋮\)d

2n+3 \(⋮\)d

=> 2(n+1) \(⋮\)d

2n+ 3 \(⋮\)d

=> 2n+2 \(⋮\)d

2n+3 \(⋮\)d

=> 2n+3 - 2n -2 \(⋮\)d

=> 1 \(⋮\)d

=> d =1

Vì d= 1 nên phân số n+1/2n+3 là phân số tối giản

Phần b cũng thế nha 

Gọi ƯCLN(n + 1 ; 2n + 3) = d

=> \(\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(n+1\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)⋮d}\)

=> \(1⋮d\Rightarrow d=1\)

=> n + 1 ; 2n + 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau

=> \(\frac{n+1}{2n+3}\) là phân số tối giản

b Gọi ƯCLN(2n + 3 ; 4n + 8) = d

=> \(\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(2n+3\right)⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(4n+8\right)-\left(4n+6\right)⋮d}\) 

=>  \(2⋮d\Rightarrow d\inƯ\left(2\right)\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)

Vì \(2n+3\)là số lẻ với mọi n nguyên

=> 2n + 3 không chia hết cho 2 

=> \(d\ne2\)=> d = 1

Khi d = 1 , 2n + 3 ; 4n + 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau

=> B là phân số tối giản

a) Gọi d là ƯC( n+1 ; 2n+3 )

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}2\left(n+1\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2n+3-2n-2⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(n+1;2n+3\right)=1\)

=> \(\frac{n+1}{2n+3}\)tối giản ( đpcm )

b) Gọi d là ƯC( 2n+3 ; 4n+8 )

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}2\left(2n+3\right)⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(4n+8\right)-\left(4n+6\right)⋮d\)

\(\Rightarrow4n+8-4n-6⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\Rightarrow d=\left\{1;2\right\}\)

* \(d=2\Rightarrow2n+3⋮̸d̸\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(2n+3;4n+8\right)=1\)

\(\Rightarrow\frac{2n+3}{4n+8}\)tối giản ( đpcm ) 

a) Gọi d = ƯCLN(n+1; 2n+3) (d thuộc N*)

=> n + 1 chia hết cho d; 2n + 3 chia hết cho d

=> 2.(n + 1) chia hết cho d; 2n + 3 chia hết cho d

=> 2n + 2 chia hết cho d; 2n + 3 chia hết cho d

=> (2n + 3) - (2n + 2) chia hết cho d

=> 2n + 3 - 2n - 2 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

Mà d thuộc N* => d = 1

=> ƯCLN(n+1; 2n+3) = 1

=> n + 1 và 2n + 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Câu b lm tương tự

a) Đặt ƯCLN(n+1; 2n+3) = d

=> (2n + 3) - (n + 1) chia hết cho d

=> (2n + 3) - [2.(n + 1)] chia hết cho d

=> (2n + 3) - (2n + 2) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d => d = 1

Do ƯCLN(n+1; 2n+3) = 1 nên \(\frac{n+1}{2n+3}\) tối giản

b) Đặt ƯCLN(2n+3; 4n+8) = d

=> (4n + 8) - (2n + 3) chia hết cho d

=> (4n + 8) - [2.(2n + 3)] chia hết cho d

=> (4n + 8) - (4n + 6) chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d => d \(\in\) {1; 2}

Nhưng d khác 2 vì d là ước chung của 2 số lẻ nên d = 1

Do ƯCLN(2n+3; 4n+8) = 1 nên \(\frac{2n+3}{4n+8}\) tối giản 

a) \(\frac{n+1}{2n+3}\)

Đặt ƯCLN(n+1; 2n+3) = d

=> n + 1 \(⋮d\) và 2n + 3 \(⋮d\)

=> (2n + 3) - (n + 1) \(⋮d\)

=> (2n + 3) - [2.(n + 1)] \(⋮d\)

=> (2n + 3) - (2n + 2) \(⋮d\)

=> 1 \(⋮d\)

=> d = 1

Do ƯCLN(n+1; 2n+3) = 1 nên phân số \(\frac{n+1}{2n+3}\) tối giản

b) \(\frac{2n+3}{4n+8}\)

Đặt ƯCLN(2n+3;4n+8) = d

=> 2n+3 \(⋮d\) và 4n+8\(⋮d\)

=> (4n + 8) - (2n + 3) \(⋮d\)

=> (4n + 8) - [2.(2n + 3)] \(⋮d\)

=> (4n + 8) - (4n + 6) \(⋮d\)

=> 2 chia hết cho d

=> d ∈ ∈ {1; 2}

Vì 2n + 3 là số lẻ, 4n + 8 là số chẵn nên ƯC(2n+3;4n+8) là 1 số lẻ

=> \(d\ne2\Rightarrow d=1\)

Do ƯCLN(2n+3; 4n+8) = 1 nên phân số \(\frac{2n+3}{4n+8}\) tối giản 

Gọi d là ƯCLN(4n+7;2n+3)

Ta có:

2n+3 chia hết cho d =>2(2n+3) chia hết cho d

4n+7 chia hết cho d

=>(4n+7)-(4n+6) chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=> d thuộc Ư(1)={1;-1}

=>đpcm

Gọi ƯC( 4n+7; 2n + 3) = d

Ta có 4n+7 chia hết cho d; 2n+3 \(⋮\) d

2.(2n+3) chia\(⋮\)d

4n+7 \(⋮\)d ; 4n +6\(⋮\)d

1\(⋮\)d

\(\Rightarrow\)d=1

vậy \(\frac{4n+7}{2n+3}\)tối giản

Đặt \(d=\left(n+1,3n+2\right)\).

Suy ra \(\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}}\Rightarrow3\left(n+1\right)-\left(3n+2\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\).

Do đó ta có đpcm. 

Đặt \(d=\left(2n+1,4n+3\right)\).

Suy ra \(\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\4n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(4n+3\right)-2\left(2n+1\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\).

Do đó ta có đpcm. 

Đặt \(d=\left(4n+1,12n+7\right)\).

Suy ra \(\hept{\begin{cases}4n+1⋮d\\12n+7⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(12n+7\right)-3\left(4n+1\right)=4⋮d\Rightarrow4n⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\).

Do đó ta có đpcm. 

Giả sử phân số sau chưa tối giản

\(\Rightarrow2n+3⋮d;4n+8⋮d\left(d\in N;d>1\right)\)

\(2n+3⋮d\Rightarrow4n+6⋮d\)

\(\Rightarrow4n+8-4n-6⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\)

Vậy d có thể = 2 

Vậy p/s sau vẫn có thể tối giản đc

Giả sử ƯCLN  (2n+3;4n+8)=d

\(\Rightarrow4n+8⋮d\)mà\(4n+8=2\left(2n+4\right)\)\(\Rightarrow2n+4⋮d\)

\(\Rightarrow d=2n+4-\left(2n+3\right)\)\(=2n+4-2n-3\)\(=1\)

Do d=1 thì \(\frac{2n+3}{4n+8}\)là số tối giản với bất kì  số tư nhiên n

Chú bạn hok tốt