Giả sử O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh rằng nếu AB=AC thì OE vuông góc với CD.
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O . Gọi D là trung điểm của AB , E là trọng tâm tam giác ACD . CMR OE vuông góc với CD
Lấy G là trọng tâm của ΔABC
⇒CG=2/3CD
Vẽ đường cao AH của ΔABC , vì ΔABC cân tại A ⇒AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến
⇒ A,G,H thẳng hàng.(1)
OB=OC=R ⇒ O thuộc đường trung trực của BC
⇒A,O,H thẳng hàng (2)
Từ (1) và(2) ⇒ OG vuông góc với BC
Lấy M là trung điểm của AC. ΔABC có D,M lần lượt là trung điểm của AB,AC
⇒DM//BC
Mà OGvuông góc với BC
⇒OG vuông góc với DM
⇒OG vuông góc với DE (3)
ΔAOB có OA=OB
⇒ΔAOB cân tại O mà D là trung điểm của AB
⇒OD vuông góc với AB
Gọi N là trung điểm của AD. Vì E là trọng tâm của ΔACD
⇒CE=2/3CN
ΔCND có CE=2/3CN,CG=2/3CD
⇒GE//DN ( theo định lý Ta lét)
⇒GE//AB mà OD vuông góc với AB
⇒OD vuông góc với GE (4)
Từ (3),(4) ⇒ΔDGE có OD vuông góc với GE, OG vuông góc DE
⇒O là trực tâm của ΔDGE
⇒OE vuông góc với DG hay OE vuông góc với CD
Lấy G là trọng tâm của ΔABC
⇒CG=23CD
Vẽ đường cao AH của ΔABC , vì ΔABC cân tại A ⇒AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến
⇒ A,G,H thẳng hàng.(1)
OB=OC=R ⇒ O thuộc đường trung trực của BC
⇒A,O,H thẳng hàng (2)
Từ (1) và(2) ⇒ OG vuông góc với BC
Lấy M là trung điểm của AC. ΔABC có D,M lần lượt là trung điểm của AB,AC
⇒DM//BC
Mà OGvuông góc với BC
⇒OG vuông góc với DM
⇒OG vuông góc với DE (3)
ΔAOB có OA=OB
⇒ΔAOB cân tại O mà D là trung điểm của AB
⇒OD vuông góc với AB
Gọi N là trung điểm của AD. Vì E là trọng tâm của ΔACD
⇒CE=23CN
ΔCND có CE=23CN,CG=23CD
⇒GE//DN ( theo định lý Ta lét)
⇒GE//AB mà OD vuông góc với AB
⇒OD vuông góc với GE (4)
Từ (3),(4) ⇒ΔDGE có OD vuông góc với GE, OG vuông góc DE
⇒O là trực tâm của ΔDGE
⇒OE vuông góc với DG hay OE vuông góc với CD
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O . Gọi D là trung điểm của AB , E là trọng tâm tam giác ACD . CMR OE vuông góc với CD
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O . Gọi D là trung điểm của AB , E là trọng tâm tam giác ACD . CMR OE vuông góc với CD
Gọi; M là trung điểm của AC; G là trọng tâm của tam giác ABC. Nối E với G; O với D
+) Vì G là trong tâm của tam giác ABC => MG = \(\frac{1}{3}\)MB => MG/ MB = \(\frac{1}{3}\)
E là trong tâm của tam giác ACD => ME = \(\frac{1}{3}\) MD => ME/ MD = \(\frac{1}{3}\)
Tam giác DMB có MG/ MB = ME/MD (= \(\frac{1}{3}\)) => EG // AB (Định lí Ta lét)
Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC => O là giao của 3 đường trung trực => OD là đường trung trực của AB => OD vuông góc với AB
=> EG vuông góc với OD (1)
+) Tam giác ABC cân tại A có AO là đường trung trực nên đông thời là đường trung tuyến
Mà AG cũng là đường trung tuyến (Vì G là trọng tâm tam giác) => AO trùng với AG => A; O; G thẳng hàng
Mặt khác AO vuông góc với BC ( vì AO là đường trung trực của đoạn BC)
DM // BC (vì DM là đường trung bình của tam giác ABC)
=> AO vuông góc với BC => OG vuông góc với BC (2)
Từ (1)(2) ta có: OD; OG là hai đường cao của tam giác DEG mà OD cắt OG = O => O là trực tâm của tam giác DEG
=> OE vuông góc với DG
Hay OE vuông góc với DC
khó chứng minh quá đi
tớ nghĩ câu này cm E nằm trên đường kính HK là ra nhưng cm ra s thì chả bk ^^
nhìn rối mắt + dài dòng = ko hỉu
nhưng l-i-k-e cho cô loan một cái
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O . Gọi D là trung điểm của AB , E là trọng tâm tam giác ACD . CMR OE vuông góc với CD
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . D là trung điểm của AB , G là trọng tâm của tam giác ACD . Chứng minh : OG vuông góc với CD
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) với AB<AC .Đường phân giác của góc B A C ^ cắt (O) tại điểm D khác A
Gọi M là trung điểm của AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O.
Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khácA
2). Chứng minh rằng È vuông góc với AC
2). Từ AD là phân giác B A C ^ suy ra DB=DC vậy DE vuông góc với BC tại trung điểm N của BC.
Từ 1). Δ B D M ∽ Δ B C F , ta có D M C F = B D B C .
Vậy ta có biến đổi sau D A C F = 2 D M C F = 2 B D B C = C D C N = D E C E (3).
Ta lại có góc nội tiếp A D E ^ = F C E ^ (4).
Từ 3 và 4, suy ra Δ E A D ∽ Δ E F C ⇒ E F C ^ = E A D ^ = 90 ° ⇒ E F ⊥ A C
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O), D là trung điểm của AB. E là trọng tâm của tam giác ACD. CMR: OE vuông góc CD.
Bn xem bài của cô Trần Thị Loan nha
Link nè bn
Câu hỏi của Trần Đức Thắng - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường trong tâm O. Gọi D là trung điểm của AB. E là trọng tâm của tam giác ACD. Cmr OE vuông góc với CD
hình tự vẽ nha. lười quá
Kẻ trung tuyến CM,DN của \(\Delta ACD\)( M,N \(\in\)AB,AC )
AM và DN cắt nhau ở E. gọi Giao điểm của CD và AO là I
dễ dàng suy ra I là trọng tâm của \(\Delta ABC\)
Ta có : \(\frac{CE}{CM}=\frac{CI}{CD}=\frac{2}{3}\Rightarrow EI//AB\)
Mà \(OD\perp AB\)nên \(EI\perp OD\)( 1 )
Lại có : \(OI\perp BC\)mà BC // DN nên \(OI\perp DN\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra I là trực tâm của \(\Delta ODE\), do đó OE \(\perp\)DI
Hay \(OE\perp CD\)
Cho tam giác ABC (AB nhở hơn AC) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại D,E.
a) Chứng minh nếu góc BAC bằng 45 độ thì AE=BE
b)Gọi H là giao điểm BE và CD. Chứng minh đường trung trực của đoạn DH đi qua trung điểm cảu đoạn AH
c)Chứng minh rằng đường thẳng OE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE
các bác giúp em câu c với
AB không nhất thiết phải nhỏ hơn AC nhé các bác
em sửa chỗ kia chút cắt AB tại D, AC tại E