Do số đã cho là số lẻ nên ko chia hết cho 2

Do số đã cho có tận cùng khác 0, 5 nên ko chia hết cho 5

Gọi p là 1 số nguyên tố nào đó, với \(p\ne\left\{2;5\right\}\) \(\Rightarrow2^x.5^y\)  nguyên tố cùng nhau p

\(\Rightarrow10^z\) nguyên tố cùng nhau với p với mọi z nguyên dương

Ta xét dãy gồm p+1 số có dạng:

1; 11; 111; ...; 111...11 (p+1 chữ số 1)

Theo nguyên lý Dirichlet, trong p+1 số trên có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia hết cho p

Giả sử đó là 111..11 (m chữ số 1) và 111...11 (n chữ số 1), với \(m< n\le p\)

\(\Rightarrow111...11\left(n\text{ chữ số 1}\right)-111...11\left(m\text{ chữ số 1}\right)\) chia hết cho p

\(\Rightarrow111...11000...00\left(a\text{ chữ số 1}\text{ và b chữ số 0}\right)\) chia hết cho p (với a<m)

\(\Rightarrow111...11.10^b\) chia hết cho p

Mà \(10^p\) nguyê tố cùng nhau với p

\(\Rightarrow111...11\left(a\text{ chữ số 1}\right)\) chia hết cho p

Vậy với mọi số nguyên tố p khác 2 và 5, luôn luôn tìm được ít nhất 1 số có dạng 111...11 chia hết cho p

\(\Rightarrow\) Mọi số nguyên tố, trừ 2 và 5, đều có thể là ước của số có dạng 111...11

a,111=3.37

=> Ư ( 111)={1;111;3;37}

b, ** là ước của 111 và có 2 chữ số nên **=37

=>**=37.3=111

ta có abba=1000a+100b+10b+a
=1001a+110b
=11( 91a+10b ) luôn chia hết cho 11
lại có abba được viết dưới dạng tích của 3 số nguyên liên tiếp mà trong đó phải có số 11
=> ta có các trướng hợp sau
+ tích của 3 số 5.7.11=385 loại
+ tích của 3 số 7.11.13=1001 thỏa mãn đề bài
+tích của 3 số 11.13.17=2431 loại
=> số thỏa mãn đề bài là 1001

Câu 1

B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42; 45; 48; 51; 54; 57;…}

U(54) = {1; 2; 3; 6; 9; 18; 27; 54}

Các số vừa là bội của 3 vừa là ước của 54 là: 3; 6; 9; 18; 27; 54

Vậy có 6 số vừa là bội của 3 và là ước của 54.

Câu 2 :

180=2^2.3^2.5

Vậy số ước của 180 là: 3.3.2=18 ước

Các ước nguyên tố của 18 là{2;3;5}

SỐ ước không nguyên tố của 180 là 18-3=15 ước

Câu 3 :