\(5x^2+10y^2-6xy-4x-10y+14\)

\(=\left(4x^2-4x+1\right)+\left(x^2-6xy+9y^2\right)+\left(y^2-10y+25\right)-12\)

\(=\left(2x-1\right)^2+\left(x-3y\right)^2+\left(y-5\right)^2-12\ge-12\) đề có nhầm không bạn?

có 1 cách mà xài SOS xấu lắm chơi ko :))

tìm thấy rồi Tổng hợp kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức-Tập 2: Luyện thi học sinh giỏi toán - Tổng hợp - Google Sách

đây nhé có phải là

\(a-\frac{a\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+3bc}=\frac{a^3+3abc-a\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+3bc}=\frac{a\left(a-b\right)\left(a-c\right)}{a^2+3bc}+\frac{3abc}{a^2+3bc}\)

Đến khi cộng vào thì phải là \(3abc\left(\frac{1}{a^2+3bc}+\frac{1}{b^2+3ac}+\frac{1}{c^2+3ab}\right)\ge\frac{3abc.9}{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)}\)

Ta có: \(3mx>x+2\Rightarrow\left(3m-1\right)x>2\left(1\right)\)

Với \(3m-1=0\Rightarrow0>2\): Vô lý nên \(3m-1\ne0.\)

Với \(3m-1>0\Leftrightarrow\Rightarrow m>\frac{1}{3}\Rightarrow x>\frac{2}{3m-1}.\)

Để (1) đúng với mọi x > 1 suy ra\(1\ge\frac{2}{3m-1}\Rightarrow\frac{2}{3m-1}-1\le0\Rightarrow\frac{3-3m}{3m-1}\le0\)

Do 3m - 1 > 0 nên \(3-3m\le0\Rightarrow m\ge1.\)

Kết hợp điều kiện suy ra \(m\ge1.\)

Với \(3m-1< 0\Leftrightarrow\Rightarrow m< \frac{1}{3}\Rightarrow x< \frac{2}{3m-1}.\)

Khi đó không xảy ra trường hợp \(\forall x>1\) thì \(x< \frac{2}{3m-1}.\)

Vậy trường hợp này loại.

Kết luận \(m\ge1.\)

+ x+y=2 ta có bảng

+khi x=0, y=2 ta có BPT 0^{4 +} 2⁴ >= 2

+ khi x= 1, y=1 ta có BPT 1⁴ + 1⁴ >=2

⁺ khi x = 2, y=0 ta có BPT 2⁴ + 0⁴ >=2

Nên x⁴ + y⁴ >=2