Gọi số tự nhiên là n.

Ta có:

\(n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3\)

\(=n^3+n^3+3n^2+3n+1+n^3+6n^2+12n+8\)

\(=3n^3+9n^2+15n+9\)

Ta lấy từng số hạng chia cho 9.

\(3n^3:9\left(R=3\right)\)

\(9n^2⋮9\)

\(15n:9\left(R=6\right)\)

\(9⋮9\)

Mà ta có hai R

\(\Rightarrow15n+3n^3=\left(3+6\right)=9⋮9\)

\(\Rightarrow\left(3n^3+9n^2+15n+9\right)⋮9\)

\(\Leftrightarrow\left(n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3\right)⋮9\)

Vậy tổng lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9.

Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là (a - 1), a, (a + 1) 
chứng minh: (a - 1)^3 + a^3 + (a + 1)^3 chia hết cho 9 
=>(a - 1)^3 + a^3 + (a + 1)^3=a^3 - 3a^2 + 3a - 1 + a^3 + a^3 + 3a^2 + 3a +1 = 3a^3 + 6a 
= >3a(a^2 + 2) = 3a(a^2 - 1) + 9a 
= >3(a - 1)a(a + 1) + 9a 
ta da biet tíck của 3 sô tự nhiên liên tiếp chia hhết cho 3 nên 3(a - 1)a(a + 1) chia hết cho 9 
Mặt khác 9a chia hết cho 9 nên 
=>3(a - 1)a(a + 1) + 9a 
Hay ta được điều phải chứng minh !!!!!

Gọi 3 số nguyên liên tiếp là:  \(a-1;\)\(a;\)\(a+1\)

Tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp là:

     \(A=\left(a-1\right)^3+a^3+\left(a+1\right)^3=a^3-3a^2+3a-1+a^3+a^3+3a^2+3a+1\)

\(=3a\left(a^2+1\right)=3a\left(a^2-1+3\right)=3a\left(a^2-1\right)+9a\)

\(=3\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+9a\)

Nhận thấy:  \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)là tích của 3 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 3 

=>  \(3\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)chia hết cho 9;    9a chia hết cho 9

=>   A  chia hết cho 9

Gọi \(3\) số nguyên liên tiếp lần lượt là: \(\left(a-1\right);a;\left(a+1\right)\)

Chứng minh: \(\left(a-1\right)^3+a^3+\left(a+1\right)^3\) chia hết cho \(9\).

\(\left(a-1\right)^3+a^3+\left(a+1\right)^3\)

\(=a^3-3a^2+3a-1+a^3+a^3+3a^2+3a+1\)

\(=3a^3+6a\)

\(=3a\left(a^2+2\right)\)

\(=3a\left(a^2-1\right)+9a\)

\(=3\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+9a\)

Vì tích của \(3\) số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 nên \(3\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\) chia hết cho \(9\).

Mặt khác \(9a\) chia hết cho \(9\) nên:

\(\Rightarrow3\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+9a\)

Ba số nguyên liên tiếp là n,n+1,n+2,ta phải chứng minh:

\(A=n^3+\left[n+1\right]^3+\left[n+2\right]^3⋮9\)

Ta có \(A=n^3+\left[n+1\right]^3+\left[n+2\right]^3=3n^3+9n^2+15n+9\)

\(=3n^3-3n+18n+9n^2+9=3n\left[n-1\right]\left[n+1\right]+18n+9+9n^2\)

n,n-1,n+1 là ba số nguyên liên tiếp,trong đó một số chia hết cho 3

Vậy \(B=3n\left[n-1\right]\left[n+1\right]⋮9;C=18n+9n^2+9⋮9\)

A = B + C mà \(B⋮9,C⋮9\Rightarrow A⋮9\)

3 số nguyên liên tiếp có dạng (a-1);a;(a+1). 
Tổng lập phương của chúng là: 
(a-1)^3 + a^3 + (a+1)^3 = 3a^3 +6a 
Chứng minh 3a^3 + 6a chia hết cho 9. (*) 
Với a = 0: 
3a^3 +6a = 0 chia hết cho 9 (TM). 
Suy ra Suy ra (*) đúng với a = 0 (1) 
Giả sử: (*) đúng với a = k. (k thuộc Z) (2), ta có: 
3a^3 +6a = 3k^3 + 6k chia hết cho 9. 
Chứng minh (*) đúng với a = k+1: 
3a^3 + 6a = 3(k+1)^3 + 6(k+1) = 3k^3 +9k^2 +15k +9 = (3k^3 +6k) + 9(k^2 +k +1) chia hết cho 9 
(do 3k^3 +6k chia hết cho 9 theo giả thiết quy nạp, 9(k^2 +k +1) luôn chia hết cho 9) 
Suy ra (*) đúng với a = k+1(3) 
Chứng minh (*) đúng với a = k-1: 
3a^3 + 6a = 3(k-1)^3 + 6(k-1) = 3k^3 -9k^2 +15k -9 = (3k^3 +6k) -9(k^2 +k -1) chia hết cho 9 
do 3k^3 +6k chia hết cho 9 theo giả thiết quy nạp, -9(k^2 +k -1) luôn chia hết cho 9) 
Suy ra (*) đúng với a = k-1(4) 
Từ (1);(2);(3) và (4) suy ra: 
Tổng 3 lập phuơng của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9.(đpcm) 

Gọi 3 STN liên tiếp là \(a-1,a,a+1\)

Ta có:

      \(a^3+\left(a-1\right)^3+\left(a+1\right)^3\)

\(=a^3+a^3-3a^2+3a-1+a^3+3a^2+3a+1\)

\(=3a^3+6a\)

\(=3\left(a^3-a\right)+9a\)

\(=3a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+9a⋮9\)

Có gì sai thì bạn bảo mình nhé.

Câu hỏi của Đoàn Văn Toàn - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Tham khảo

Chứng minh tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9 - Toán học Lớp 8 - Bài tập Toán học Lớp 8 - Giải bài tập Toán học Lớp 8 | Lazi.vn - Cộng đồng Tri thức & Giáo dục

Mk cho bn link này tham khảo nhé!

Chúc bạn học tốt !!!

Bạn sang hoidap247 sẽ đc giải quyết câu hỏi nhanh hơn nhé

くらにみくちなそちにきにしちんくちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちちち

Gọi số nguyên đó là a (a \(\inℤ\))

Ta có : a³ + (a + 1)³ + (a + 2)³

= a³ + a³ + 3a² + 3a + 1 + a³ + 6a² + 12a + 8

= 3a³ + 9a² + 15a + 9

= 3a³ - 3a + 9a² + 18a + 9

= 3a(a² - 1) + 9(a² + 2a  + 1)

= 3(a - 1)a(a + 1) + 9(a + 1)²

Vì (a - 1)a(a + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp

=> Tồn tại 1 số chia hết cho 3

=> 3(a - 1)a(a + 1) \(⋮\)9

=> 3(a - 1)a(a + 1) + 9(a + 1)² \(⋮\)9

=> a³ + (a + 1)³ + (a + 2)³ \(⋮\)9 => ĐPCM

Gọi 3 số lần lượt là 3x, 3x+1, 3x+2

ta có tổng lập phương của 3 số đó là:

27x³+27x³+27x²+9x+1+27x³+54x²+36x+8 (Chia hết cho 9 ) => điều phải CM

Gọi 3 số nguyên liên tiếp là x -1 ; x ; x + 1 .

Ta có : (x - 1)³ + x³ + (x + 1)³

= x³ - 1 - 3x(x - 1) + x³ + x³ + 1 + 3x(x + 1)

= 3x³ - 3x(x - 1 - x - 1)

= 3x³ + 6x

= 3x³ - 3x + 9x

= 3(x - 1)x(x + 1) +9x

Vì (x - 1)x(x + 1) chia hết cho 3 nên 3(x - 1)x(x + 1) chia hết cho 9

Vì 9 chia hết cho 9 nên 9x chia hết cho 9

=> 3(x - 1)x(x + 1) + 9x chia hết cho 9

=> ĐPCM