Chứng minh với mọi a, b:
\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\)lớn hơn hoặc bằng \(\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)
CHỨNG MINH RẰNG VỚI MỌI a,b TA CÓ :\(^{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\)LỚN HƠN HOẶC BẰNG \(\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel ta có:
\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}=\)(\(\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{c^2}{1}\)).\(\frac{1}{3}\ge\)\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}.\frac{1}{3}=\)\(\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
Bài làm :
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz dạng Engel ta có:
\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}=\left(\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{c^2}{1}\right).\frac{1}{3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}.\frac{1}{3}=\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
Sử dụng BĐT 3 biến đối xứng ta có:
\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{9}=\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c
CM BĐT 3 biến: \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{cases}}\left(Cauchy\right)\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
=> đpcm
Với các số dương a,b,c chứng minh:\(\frac{a^3}{\left(b+2c\right)^2}+\frac{b^3}{\left(c+2a\right)^2}+\frac{c^3}{\left(a+2b\right)^2}\) lớn hơn hoặc bằng 2/9 (a+b+c)
SD bất đẳng thức Côsi:
\(\frac{a^3}{\left(b+2c\right)^2}+\frac{b+2c}{27}+\frac{b+2c}{27}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(b+2c\right)^2}.\frac{b+2c}{27}.\frac{b+2c}{27}}=\frac{a}{3}\)
Tương tự rồi cộng lại ta có đpcm
Với các số dương a,b,c thõa mãn abc=1 , chứng minh rằng: \(\frac{1}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^2\left(a+b\right)}\) lớn hơn hoặc bằng 3/2
\(\frac{1}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2};\frac{z^3}{x\left(y+2z\right)}\ge\frac{x+y+z}{3}\)
\(\frac{1}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^2\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{abc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{abc}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{abc}{c^2\left(a+b\right)}\)( do abc = 1 )
\(=\frac{bc}{ab+ac}+\frac{ac}{bc+ab}+\frac{ab}{ac+bc}\)(1)
Đặt \(\hept{\begin{cases}ab=x\\bc=y\\ac=z\end{cases}\left(x,y,z>0\right)}\)(1) trở thành \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\)
và ta cần chứng minh \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\ge\frac{3}{2}\)
Tuy nhiên đây là bất đẳng thức Nesbitt quen thuộc :D
nên ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> x=y=z => a=b=c=1
Cho a,b,c >0 và abc =1
Chứng minh P = \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\) lớn hơn hoặc bằng \(\frac{3}{2}\)
Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)nhỏ hơn hoặc bằng 3
Chứng minh rằng \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)lớn hơn hoặc bằng 3
Ta có: \(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab}{1+b^2}\)
\(1+b^2\ge2b\) \(\Rightarrow\frac{ab^2}{1+b^2}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)\(\Rightarrow-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge-\frac{ab}{2}\)
Do đó: \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự: \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\); \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Suy ra \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{ab+bc+ca}{2}\ge a+b+c\)
Mặt khác ta có: \(3\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\Rightarrow\frac{3}{a+b+c}\le1\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Do đó; \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{ab+bc+ca}{2}\ge a+b+c\ge3\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
Các bạn trình bày chi tiết hộ mk nhé. Lm đc bài nào thì lm. Xin cảm ơn
Bài 1:
cho a,b,c > 0
Chứng minh \(\left(a^2+2bc\right)\left(b^2+2ac\right)\left(c^2+2ab\right)\) lớn hơn hoặc bằng \(abc\left(a+2b\right)\left(c+2a\right)\left(b+2c\right)\)
Bài 2
Cho a,b,c > 0
Chứng minh \(\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\)lớn hơn hoặc bằng 1
Cho a,b là các số thực luôn lớn hơn 0. Chứng minh\(\frac{a^3+b^3}{2}\)luôn lớn hơn hoặc bằng\(\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\)
\(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{2}\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{8}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2-ab+b^2}{2}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{8}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2-ab+b^2}{2}\ge\frac{a^2+2ab+b^2}{8}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2-ab+b^2}{2}-\frac{a^2+2ab+b^2}{8}\ge\)
\(\Leftrightarrow\frac{4a^2-4ab+4b^2-a^2-2ab-b^2}{8}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{3a^2-6ab+3b^2}{8}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{3\left(a-b\right)^2}{8}\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\)
Chứng minh \(a^3+b^3+c^3\) lớn hợn hoặc bằng \(\frac{a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)}{2}\)
( Nếu cần có thêm điều kiện abc=2)
a3+b3 =(a+b)(a2+b2 -ab) \(\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=a^2b+ab^2;\)
tương tự a3 +c3 \(\ge a^2c+ac^2;b^3+c^3\ge b^2c+bc^2\)
cộng 3 bdt với nhau ta được 2(a3 +b3+c3) \(\ge a^2\left(b+c\right)+b^2\left(a+c\right)+c^2\left(a+b\right)\)(chứng minh xong)
dấu '=' khi a=b=c
Cho a,b,c,d>0
Chứng minh:
\(\frac{a^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)+ \(\frac{b^2}{\left(b+c+d\right)^2}\)+\(\frac{c^2}{\left(c+d+a\right)^2}\)+\(\frac{d^2}{\left(d+a+b\right)}\)lớn hơn hoặc bằng \(\frac{9}{4}\)