So sánh các số:
\(\frac{30-2\sqrt{45}}{4}\)với \(\sqrt{17}\)
so sánh \(\frac{30-2\sqrt{45}}{4}\)và \(\sqrt{17}\)
1. So sánh x và y :
x = \(\frac{30-2\sqrt{45}}{4}\)và y = \(\sqrt{17}\)
Ta có x=\(\frac{30-2\sqrt{45}}{4}< \frac{30-2\sqrt{49}}{4}\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{30-2\sqrt{45}}{4}< \frac{30-14}{4}< 4\)
Ta có x<4 (1)
lại có y=\(\sqrt{17}>\sqrt{16}\Rightarrow\sqrt{17}>4\)
=> y>4 (2)
từ (1) và (2) =>x<y
Ta có : x = \(\frac{30-2\sqrt{45}}{4}\)= \(\frac{15-\sqrt{45}}{2}\)> 0
y = \(\sqrt{17}>0\)
\(\Rightarrow\)\(x^2\)= \(\frac{\left(15-\sqrt{45}\right)^2}{4}\)= \(\frac{225-30\sqrt{45}+45}{4}\)= \(\frac{270-30\sqrt{45}}{4}\)
\(y^2\)= 17
Xét hiệu : \(x^2-y^2\)= \(\frac{270-30\sqrt{45}}{4}\)\(-\)17 = \(\frac{202-30\sqrt{45}}{4}\)= \(\frac{\sqrt{40804}-\sqrt{40500}}{4}>0\)
( vì 40804\(>\)40500 \(\ge\)0 )
\(\Rightarrow\)\(x^2>y^2\)\(\Rightarrow\)\(x>y\) ( vì \(x,y>0\))
So sánh:
a)\(\sqrt{6}\) và 2,(45)
b)\(\sqrt{13+17}\) và \(\sqrt{13}+\sqrt{17}\)
c)4-\(\sqrt{29}\) và \(\sqrt{15}-\sqrt{30}\)
so sánh
\(\frac{30-2\sqrt{45}}{4}\) và \(\sqrt{15}\)
So sánh ;
\(\frac{30-2\sqrt{45}}{4}\) và \(\sqrt{17}\)
So sánh:
a)\(\sqrt{6}\)và2,(45)
b)\(\sqrt{13+17}\)và\(\sqrt{13}+\sqrt{17}\)
c)\(4-\sqrt{29}\)và\(\sqrt{15}-\sqrt{30}\)
So sánh :
\(\sqrt{17}+\sqrt{5}+1\) và \(\sqrt{45}\)
\(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{36}}\) và 6
a/ \(\sqrt{17}+\sqrt{5}+1>\sqrt{16}+\sqrt{4}+1=4+2+1=7\)
\(\sqrt{45}< \sqrt{49}=7\)
\(\Rightarrow\sqrt{17}+\sqrt{5}+1>\sqrt{45}\)
b/ Ta có:
\(\sqrt{n}< \sqrt{n+1}\)
\(\Rightarrow2\sqrt{n}< \sqrt{n+1}+\sqrt{n}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{n}}>\dfrac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)
Áp dụng vào bài toán được
\(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{36}}>2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{37}-\sqrt{36}\right)\)
\(=2\left(\sqrt{37}-1\right)>6\)
SO SÁNH 45 VỚI S
\(S=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{2025}-\sqrt{2024}}\)
\(S=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{2025}-\sqrt{2024}}\)
Ta nhận xét thấy mỗi số hạng trong S đều dương. Từ đó ta đặt
\(A=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{2024}-\sqrt{2023}}\left(A>0\right)\)
\(\Rightarrow S=A+\frac{1}{\sqrt{2025}-\sqrt{2024}}=A+\frac{\sqrt{2025}+\sqrt{2024}}{\left(\sqrt{2025}-\sqrt{2024}\right)\left(\sqrt{2025}+\sqrt{2024}\right)}\)
\(=A+\sqrt{2025}+\sqrt{2024}>\sqrt{2025}=45\)
Vậy \(S>45\)
PS: Phan Thanh Tịnh xem lại bài giải nhé bạn
Ta có : 1 = (n + 1) - n =\(\left(\sqrt{n+1}\right)^2-\left(\sqrt{n}\right)^2\)
\(=\left(\sqrt{n+1}\right)^2-\sqrt{n+1}.\sqrt{n}+\sqrt{n+1}.\sqrt{n}+\left(\sqrt{n}\right)^2\)
\(=\sqrt{n+1}.\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)+\sqrt{n}.\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)
\(=\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n-1}+\sqrt{n}\right)\)\
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\)
Áp dụng vào bài toán,ta có :
\(S=\sqrt{1}+\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{2025}-\sqrt{2024}=\sqrt{2025}\)= 45
Vậy S = 45
So sánh 2 số B=\(\sqrt{17}+\sqrt{5}+1\)và C=\(\sqrt{45}\)
B=\(\sqrt{17}+\sqrt{5}+1\)>\(\sqrt{16}+\sqrt{4}+1\)=4+2+1=7=\(\sqrt{49}\)>\(\sqrt{45}\)
Vậy B>C