x^3+3x^2+y^3+5y^2-(x^3+y^3)=0

3x^2+5y^2=0

x=0 và y=0

Lớp 8 nên sử dụng hằng đẳng thức

(=) X³ +3x² +y³+5y²-x³-y³=0

(

Xét: \(\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}-\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}=\frac{x^4-y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)\(=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2-y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)\left(x-y\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}=x-y\)(1)

Tương tự, ta có: \(\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}-\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}=y-z\)(2); \(\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}-\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}=z-x\)(3)

Cộng theo vế của 3 đẳng thức (1), (2), (3), ta được:

\(\left[\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\right]\)\(-\left[\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\right]=0\)

\(\Rightarrow\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)\(=\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)

Mà \(A=\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)nên \(2A=\frac{x^4+y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4+z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4+x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)\(\ge\frac{\frac{\left(y^2+z^2\right)^2}{2}}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{\frac{\left(y^2+z^2\right)^2}{2}}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{\frac{\left(z^2+x^2\right)^2}{2}}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+y^2}{x+y}+\frac{y^2+z^2}{y+z}+\frac{z^2+x^2}{z+x}\right)\)\(\ge\frac{1}{2}\left(\frac{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}{x+y}+\frac{\frac{\left(y+z\right)^2}{2}}{y+z}+\frac{\frac{\left(z+x\right)^2}{2}}{z+x}\right)\)\(=\frac{1}{4}\left[\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\right]=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{2}\)(Do theo giả thiết thì x + y + z = 1)

\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Bài này t làm rồi, "nhẹ" không ấy mà :|

Dự đoán khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\Rightarrow A=\frac{1}{4}\). Ta c/m nó là GTNN của A

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(A=Σ\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)

Cần chứng minh BĐT \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{x+y+z}{4}\)

\(\Leftrightarrow4\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\left(x+y+z\right)Σ\left(2x^3+x^2y+x^2z\right)\)

\(\LeftrightarrowΣ\left(2x^4-3x^3y-3x^3z+6x^2y^2-2x^2yz\right)\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ\left(2x^4-3x^3y-3x^3z+4x^2y^2\right)+Σ\left(2x^2y^2-2x^2yz\right)\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ\left(x^4-3x^3y+4x^2y^2-3xy^3+y^4\right)+Σ\left(x^2z^2-2z^2xy+y^2z^2\right)\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ\left(x-y\right)^2\left(x^2-xy+y^2\right)+Σz^2\left(x-y\right)^2\ge0\)

BĐT cuối đúng tức ta có \(A_{Min}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

P/s: Nguồn lời giải Câu hỏi của Vo Trong Duy - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath, rảnh quá ngồi gõ lại :V

Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt tại H. Qua A vẽ đường thẳng song song với BE,CF lần lượt cắt CF,BE tại P và Q. Chứng minh: PQ vuông góc với trung tuyến AM của tam giác ABC

\(\left|xy\right|+\left|yz\right|+\left|zx\right|\)

x, y, z thuộc R nên đâu có những thứ này

\(\sqrt{\frac{x^2}{\left(y+z\right)^2}}=\frac{x}{y+z}\)

và \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\ge\frac{3}{2}\)

Min_P=0 nha!
 

Mk cx biết vậy nhưng mk ko biết cách giải thôi !!! Bạn giải giúp mk nha =))

Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$\text{VT}(1^2+1^2+1^2)\geq (1+\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y})^2$

$\Leftrightarrow 3\text{VT}\geq (3+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y})^2$

$ = \left[3+\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{yz+yx}+\frac{z^2}{zy+zx}\right]^2$

$\geq \left[3+\frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)}\right]^2$

$\geq \left[3+\frac{3(xy+yz+xz)}{2(xy+yz+xz)}\right]^2=\frac{81}{4}$

$\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{27}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z>0$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

VT(12+12+12)≥(1+��+�+1+��+�+1+��+�)2VT(12+12+12)≥(1+y+zx​+1+x+zy​+1+x+yz​)2

⇔3VT≥(3+��+�+��+�+��+�)2⇔3VT≥(3+y+zx​+x+zy​+x+yz​)2

=[3+�2��+��+�2��+��+�2��+��]2=[3+xy+xzx2​+yz+yxy2​+zy+zxz2​]2

≥[3+(�+�+�)22(��+��+��)]2≥[3+2(xy+yz+xz)(x+y+z)2​]2

≥[3+3(��+��+��)2(��+��+��)]2=814≥[3+2(xy+yz+xz)3(xy+yz+xz)​]2=481​

⇒VT≥274⇒VT≥427​

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z>0$