\(A=\frac{1}{2017}-\frac{2}{2017x}+\frac{1}{x^2}=\left(\frac{1}{2017}-\frac{1}{x}\right)^2+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2017^2}=\left(\frac{1}{2017}-\frac{1}{x}\right)^2+\frac{2016}{2017^2}\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{2016}{2017^2}\)Dấu "=" xảy ra khi \(\left(\frac{1}{2017}-\frac{1}{x}\right)^2=0\Rightarrow x=2017\)

Vây ......

a,\(A\ge\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\ge\frac{9}{\sqrt{3\left(x+y+z\right)}}=3\)=3

MInA=3<=>x=y=z=1

b)dùng cô si đi(đề thi chuyên bình phước năm 2016-2017)

Áp dụng BĐT phụ \(4xy\le\left(x+y\right)^2\le1\)\(\Leftrightarrow xy\le\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Có \(K=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)\(=x^2+2x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+y^2+2y.\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}\)\(=x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+4\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(x^2\)và \(y^2\), ta có: \(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)

Tương tự, ta có \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2}.\frac{1}{y^2}}=\frac{2}{xy}\)

Từ đó \(K\ge2xy+\frac{2}{xy}+4\)\(=32xy+\frac{2}{xy}-30xy+4\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(32xy\)và \(\frac{2}{xy}\), ta có: \(32xy+\frac{2}{xy}\ge2\sqrt{32xy.\frac{2}{xy}}=16\)

Lại có \(xy\le\frac{1}{4}\Leftrightarrow-xy\ge-\frac{1}{4}\)nên \(K\ge16-\frac{30}{4}+4=\frac{25}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN của K là \(\frac{25}{2}\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

\(K=x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}+4=x^2+\dfrac{1}{16x^2}+y^2+\dfrac{1}{16y^2}+\dfrac{15}{16x^2}+\dfrac{15}{16y^2}+4\ge\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+4+\dfrac{2.15}{16xy}=5+\dfrac{2.15}{16xy}\)

\(x+y\ge2\sqrt{xy};\Rightarrow2\sqrt{xy}\le x+y\le1\Rightarrow2\sqrt{xy}\le1\Leftrightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow K\ge5+\dfrac{2.15}{16.\dfrac{1}{4}}=\dfrac{25}{2}\)

Bạn dùng kĩ thuật chọn điểm rơi nhé.

Phân tích đến chỗ \(K=x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+4\)đúng k?

Dự đoán K đạt GTNN khi \(x=y=\frac{1}{2}\), vậy các BĐT trong quá trình giải phải đảm bảo dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vì vậy ta có thể dùng \(x^2+y^2\ge2xy\); \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{2}{xy}\)

Do đó \(K\ge2xy+\frac{2}{xy}+4\)

Lúc này ta tìm điều kiện của \(xy\)

Áp dụng BĐT phụ \(4xy\le\left(x+y\right)^2\le1\)\(\Leftrightarrow xy\le\frac{1}{4}\)(vẫn đảm bảo dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\))

Vấn đề bây giờ là nếu áp dụng thẳng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(2xy\)và \(\frac{2}{xy}\), khi đó dấu "=" xảy ra khi \(2xy=\frac{2}{xy}\Leftrightarrow4\left(xy\right)^2=2\Leftrightarrow xy=\frac{1}{\sqrt{2}}\ge\frac{1}{4}\)(trái với \(xy\le\frac{1}{4}\))

Do đó ta cần tách 2xy thành 2 hạng tử trong đó có 1 hạng tử \(kxy\)khi áp dụng Cô-si với \(\frac{2}{xy}\)sẽ đảm bảo dấu "=" xảy ra. (cụ thể là khi \(kxy=\frac{2}{xy}\)

Mà ta đã dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\), khi đó \(\frac{2}{xy}=\frac{2}{\frac{1}{2}.\frac{1}{2}}=8\), do đó \(kxy=8\)hay \(k.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=8\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}k=8\Leftrightarrow k=32\)Vậy bạn thấy tớ tách như bài làm trên 

a)Có \(a^2+1\ge2a\) với mọi a; \(b^2+1\ge2b\) với mọi b

Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\)

Dấu = xảy ra <=> a=b=1

b) Áp dụng BĐT bunhiacopxki có:

\(\left(x+y\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\left(x+y\right)_{min}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

c) \(S=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)

Với x,y>0, ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (1)

Thật vậy (1) \(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (lđ)

Áp dụng (1) vào S ta được:

\(S\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)

Lại có: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\) \(\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{2ab}\ge2\)

\(\Rightarrow S\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+2=6\)

\(\Rightarrow S_{min}=6\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

A = \(\frac{x^2+2x+2017}{2017x^2}\)= \(\frac{\left(x+1\right)^2+2016}{2017x^2}\)

Ta có: (x+1)² \(\ge0\)với \(\forall x\)Dấu "=" xảy ra khi x= -1

2017x² \(\ge0\)với \(\forall x\)Dấu "=" xảy ra khi x = 0

Suy ra \(\frac{\left(x+1\right)^2}{2017x^2}\)\(\ge\)0 với \(\forall x\)

<=> \(\frac{\left(x+1\right)^2+2016}{2017x^2}\)\(\ge\)2016 với \(\forall x\)

Mình nghĩ thế! 

\(A\ge\frac{2016}{2017^2}\)đẳng thức khi \(x=-4034\)

Cay, đánh xong rồi tự nhiên bấm hủy :v

Ta có:\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)

Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\Rightarrow ab+bc+ca=1\)

Khi đó:

\(A=\frac{a^2\left(1+2b\right)}{b}+\frac{b^2\left(1+2c\right)}{c}+\frac{c^2\left(1+2a\right)}{a}\)

\(=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}+2\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(=a+b+c+\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{6\left(ab+bc+ca\right)}{3}\)

\(=2+\sqrt{3}\)

Đẳng thức xảy ra tại \(x=y=z=\sqrt{3}\)

zZz Cool Kid_new zZz. Sai đề rồi bạn êii !

Nếu bạn đặt như vậy thì 

\(A=\frac{y-2}{x^2}+\frac{z-2}{y^2}+\frac{x-2}{z^2}\)

\(=\frac{a^2\left(1-2b\right)}{b}+\frac{b^2\left(1-2c\right)}{c}+\frac{c^2\left(1-2a\right)}{a}\)

\(=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-2.\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

thấy nó sương sương đề thanh hóa năm nay nên t dựa theo đề kia làm luôn :3