\(\left\{{}\begin{matrix}u1=\dfrac{1}{7}\\un+1=\dfrac{un\left(1-un^8\right)}{1+un}\end{matrix}\right.\)
Tính lim un và lim(n.un)
cho dãy số un xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}u1=2\\u_{n+1}=un+3\end{matrix}\right.\)với n\(\ge1\) Tính I=lim \(\dfrac{un}{3n+1}\)
Từ công thức dãy số ta thấy \(u_n\) là cấp số cộng với \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2\\d=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow u_n=u_1+\left(n-1\right)d=2+\left(n-1\right)3=3n-1\)
\(\Rightarrow I=\lim\limits\dfrac{3n-1}{3n+1}=1\)
Giới hạn vô cực
1.Tìm lim\(\frac{\sqrt{4n^2+n-1}+n}{\sqrt{n^4_{ }2n^3-1}-n}\)
2. Tìm lim \(\left(-2n^2+4\right)^3\)
3. Cho dãy số (un): \(\left\{{}\begin{matrix}u1=-1\\un+1=un+3\end{matrix}\right.\)
Tính : lim\(\frac{un}{5n+2020}\)
4. Cho dãy số (un):
\(\left\{{}\begin{matrix}un=1\\un+1=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.un+\frac{3}{2}\). Tìm giới hạn dã số (un)
5. Cho dãy số (un):
\(\left\{{}\begin{matrix}u1=2\\un+1=un+\frac{1}{2^n}\end{matrix}\right.\)
Tìm lim(un-2)
1. Bạn ghi lại đề, mẫu số ko rõ
2. \(=lim\left[-8n^6\left(1-\frac{4}{n^2}\right)^3\right]=-\infty.1=-\infty\)
3. Dãy số là CSC với \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=-1\\d=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow u_n=-1+\left(n-1\right)3=3n-4\)
\(\Rightarrow lim\frac{3n-4}{5n+2020}=lim\frac{3-\frac{4}{n}}{5+\frac{2020}{n}}=\frac{3}{5}\)
4.
\(u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+\frac{3}{2}\Rightarrow u_{n+1}-3=\frac{1}{2}\left(u_n-3\right)\)
Đặt \(v_n=u_n-3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=-2\\v_{n+1}=\frac{1}{2}v_n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow v_n\) là CSN với công bội \(\frac{1}{2}\Rightarrow v_n=-2.\frac{1}{2^{n-1}}\Rightarrow u_n=v_n+3=-\frac{1}{2^{n-2}}+3\)
\(\Rightarrow lim\left(u_n\right)=lim\left[-\frac{1}{2^{n-2}}+3\right]=3\)
5.
\(u_{n+1}=u_n+\frac{1}{2^n}\Rightarrow u_{n+1}+\frac{2}{2^{n+1}}=u_n+\frac{2}{2^n}\)
Đặt \(v_n=u_n+\frac{2}{2^n}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=3\\v_{n+1}=v_n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow v_{n+1}=v_n=...=v_1=3\Rightarrow u_n=3-\frac{2}{2^n}\)
\(\Rightarrow u_{n-2}=3-\frac{2}{2^{n-2}}\Rightarrow lim\left(u_{n-2}\right)=lim\left(3-\frac{2}{2^{n-2}}\right)=3\)
Tính \(u_{n-2}\) hay \(u_n-2\) nhỉ? Ko dịch nổi nên đoán đại
Cho dãy số Un xác định bởi: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=\dfrac{1}{4}\\u_{n+1}=u_n^2+\dfrac{u_n}{2}\end{matrix}\right.\) với mọi \(n\ge1\). Tìm lim Un
cho dãy số(un) được xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2\\u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{n+1}{n}}\left(u_n+3\right)-3\end{matrix}\right.\) ,n=1,2,...Tìm công thức tổng quát của dãy số (un) và tính \(\lim\limits\dfrac{u_n}{\sqrt{n}}\) .
\(u_2=\sqrt{2}\left(2+3\right)-3=5\sqrt{2}-3\)
\(u_3=\sqrt{\dfrac{3}{2}}.5\sqrt{2}-3=5\sqrt{3}-3\)
\(u_4=\sqrt{\dfrac{4}{3}}.5\sqrt{3}-3=5\sqrt{4}-3\)
....
\(\Rightarrow u_n=5\sqrt{n}-3\)
\(\Rightarrow\lim\limits\dfrac{u_n}{\sqrt{n}}=\lim\limits\dfrac{5\sqrt{n}-3}{\sqrt{n}}=5\)
cho dãy un \(\left\{{}\begin{matrix}U1=2\\Un+1=Un.\dfrac{n+1}{n}\end{matrix}\right.\)
tìm cttq dãy số
\(u_{n+1}=\dfrac{u_n\left(n+1\right)}{n}\Rightarrow\dfrac{u_{n+1}}{n+1}=\dfrac{u_n}{n}\)
Đặt \(\dfrac{u_n}{n}=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{u_1}{1}=2\\v_{n+1}=v_n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow v_{n+1}=v_n=v_{n-1}=...=v_1=2\)
\(\Rightarrow\dfrac{u_n}{n}=2\Rightarrow u_n=2n\)
Tính lim Un , biết :
a) \(\left\{{}\begin{matrix}U_1=\sqrt{2}\\U_{n+1}=\sqrt{2+U_n}\end{matrix}\right.\) , n \(\ge\) 1
b) \(\left\{{}\begin{matrix}U_1=\dfrac{1}{2}\\U_{n+1}=\dfrac{1}{2-U_n}\end{matrix}\right.\) .
Hiện tại mới nghĩ được câu b thôi
b/ \(u_1=\dfrac{1}{2};u_2=\dfrac{1}{2-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{3};u_3=\dfrac{1}{2-\dfrac{2}{3}}=\dfrac{3}{4}...\)
Nhận thấy \(u_n=\dfrac{n}{n+1}\) , ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp
\(n=k\Rightarrow u_k=\dfrac{k}{k+1}\)
Chứng minh cũng đúng với \(\forall n=k+1\)
\(\Rightarrow u_{k+1}=\dfrac{k+1}{k+2}\)
Ta có: \(u_{k+1}=\dfrac{1}{2-u_k}=\dfrac{1}{2-\dfrac{k}{k+1}}=\dfrac{k+1}{k+2}\)
Vậy biểu thức đúng với \(\forall n\in N\left(n\ne0\right)\)
\(\Rightarrow limu_n=lim\dfrac{n}{n+1}=lim\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}}=1\)
Cho dãy (un)
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2022\\u^2_n+2021u_n-2023u_{n+1}+1\forall n\ge1\end{matrix}\right.\)
Tính \(\lim\limits\left(\dfrac{1}{u_1+2022}+...+\dfrac{1}{u_n+2022}\right)\)
Đề chỗ này có vấn đề:
\(u_n^2+2021u_n-2023u_{n+1}+1\)
Thiếu dấu "="
Cho dãy (Un) thỏa: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2\\u_{n+1}=\dfrac{u_n^{2015}+u_n+1}{u_n^{2014}-u_n+3}\end{matrix}\right.\).
a) CMR: \(u_n>1\) với mọi N và Un là dãy tăng
b) Tính: \(lim\sum\limits^n_{i=1}\dfrac{1}{u_i^{2014}+2}\)
Cho dãy (Un) thỏa: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2\\u_{n+1}=\dfrac{u_n^{2015}+u_n+1}{u_n^{2014}-u_n+3}\end{matrix}\right.\).
a) CMR: \(u_n>1\) với mọi N và Un là dãy tăng
b) Tính: \(lim\sum\limits^n_{i=1}\dfrac{1}{u_i^{2014}+2}\)
a) Để chứng minh rằng Un > 1 đối với mọi N và Un là dãy tăng, ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp.
Bước cơ sở: Ta thấy rằng u1 = 2 > 1.
Bước giả sử: Giả sử đúng đối với một số nguyên k ≥ 1, tức là uk > 1.
Bước bước: Ta sẽ chứng minh rằng uk+1 > 1. Từ công thức cho dãy (Un), ta có:
uk+1 = uk-2015 + uk + 1/uk - uk + 3
Vì uk > 1 (theo giả thiết giả sử), ta có uk - 2015 > 0 và uk + 3 > 0. Do đó, uk+1 > 0.
Vì vậy, ta có uk+1 > 1, và đẳng thức này đúng đối với mọi số nguyên k ≥ 1.
Do đó, ta chứng minh được rằng Un > 1 đối với mọi N và Un là dãy tăng.
b) Để tính limn∑i=11uk - i + 2, ta có thể sử dụng định nghĩa của dãy (Un) và công thức tổng của dãy số aritmeti.
Từ công thức cho dãy (Un), ta có:
uk - i + 2 = uk - 2015 - i + uk + 1 - i + uk + 2 - i
Vì Un là dãy tăng, ta có thể viết lại công thức trên như sau:
uk - i + 2 = uk - 2015 - i + uk + 1 - i + uk + 2 - i
= (uk+1 - 2015 + uk + 1) - (uk - 2015 + uk) + (uk+1 - uk)
= 2uk+1 - 2uk + 2015
Do đó, ta có thể viết lại tổng như sau:
∑i=11uk - i + 2 = 2∑i=11uk+1 - 2∑i=11uk + 2015∑i=1
= 2(u12 - u2) + 2015(12)
Với giá trị cụ thể của u12 và u2, ta có thể tính được tổng trên.