=(a+b)(b+c)(c+a)

\(a,=\left[\left(x+1\right)\left(x+5\right)\right]\left[\left(x+2\right)\left(x+4\right)\right]-40\\ =\left(x^2+6x+5\right)\left(x^2+6x+8\right)-40\\ =\left(x^2+6x\right)^2+13\left(x^2+6x\right)+40-40\\ =\left(x^2+6x\right)^2+13\left(x^2+6x\right)=\left(x^2+6x\right)\left(x^2+6x+13\right)\\ b,=a^2b^2\left(a-b\right)+b^2c^2\left(b-a+a-c\right)+c^2a^2\left(c-a\right)\\ =a^2b^2\left(a-b\right)-b^2c^2\left(a-b\right)-b^2c^2\left(c-a\right)+c^2a^2\left(c-a\right)\\ =\left(a-b\right)\left(a^2b^2-b^2c^2\right)-\left(c-a\right)\left(b^2c^2-c^2a^2\right)\\ =b^2\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a+c\right)-c^2\left(c-a\right)\left(b-a\right)\left(b+a\right)\\ =\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left[b^2\left(a+c\right)-c^2\left(b+a\right)\right]\\ =\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a^2b+b^2c-b^2c+a^2c\right)\\ =a^2\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b+c\right)\)

\(c,=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\\ =\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\\ =\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)

$A=8abc+4\left(ab+bc+ca\right)+2\left(a+b+c\right)+1$

A = 8abc + 4ab + 4bc + 4ca + 2a + 2b + 2c + 1

$A=\left(8abc+4ab\right)+\left(4bc+2b\right)+\left(4ca+2a\right)+\left(2c+1\right)$

$A=4ab\left(2c+1\right)+2b\left(2c+1\right)+2a\left(2c+1\right)+\left(2c+1\right)$

$A=\left(2c+1\right)\left(4ab+2a+2b+1\right)$

$A=\left(2c+1\right)\left[2a\left(2b+1\right)+\left(2b+1\right)\right]$

$A=\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)\left(2c+1\right)$