Ta có \(\left(n^2-8\right)^2+36=n^4-16n^2+100=\left(n^2-6n+10\right)\left(n^2+6n+10\right)\)

Để \(\left(n^2-8\right)^2+36\)là số nguyên tố thì \(\hept{\begin{cases}n^2-6n+10=1\\n^2+6n+10=1\end{cases}}\)

Do \(n\in N\Rightarrow n^2+6n+10>n^2-6n+10\)

Có \(n^2-6n+10=1\Leftrightarrow n^2-6n+9=0\Leftrightarrow\left(n-3\right)^2=0\)

\(\Rightarrow n=3\)

Vậy với n = 3 thì \(\left(n^2-8\right)^2+36\) là số nguyên tố

\(\left(n^2-8\right)^2+36=n^4-16n^2+100=\left(n^2-6n+10\right)\left(n^2+6n+10\right)\)

Để \(\left(n^2-8\right)^2+36\)là số nguyên tố thì 

\(n^2+6n+10\)là số nguyên tố và \(n^2-6n+10=1\)

\(\Leftrightarrow n^2-6n+9=0\Leftrightarrow\left(n-3\right)^2=0\Leftrightarrow n=3\)

Sửa lại một số chỗ :

Ta có: 
(n²−8)²+36=(n²−6n+10)(n²+6n+10)
Để (n²−8)²+36 là số nguyên tố thì n²−6n+10=1 hoặc n²+6n+10=1
TH1: n²−6n+10=1
⇔ n=3
Thử lại thấy đúng.
TH2: n²+6n+10=1
⇔ n=−3 (loại vì n∈N)
Vậy với n=3 thì (n²−8)²+36 là số nguyên tố.

Tại sao (n^2-8)^2 +36 lại bằng ( n^2 -6n+1-)(n^2+6n+10) Vậy các bạn???
Giải thích giùm mình nha
Tks

Ta có:

  (n²-8)²+36

=[(n²+10)-18]²

=(n²+10)²-2(n²+10).18+18²+36

=(n²+10)²-(6n)²-360+324+36

=(n²+10-6n)(n²+10+6n)

\(\left(n^2-8\right)^2+36\)

\(=n^4-16n^2+100\)

\(=\left(n^2+10\right)^2-\left(6n\right)^2\)

\(=\left(n^2-6n+10\right)\left(n^2+6n+10\right)\)

Để \(\left(n^2-8\right)^2+36\) là số nguyên tố thì \(n^2-6n+10=1\left(h\right)n^2+6n+10=1\)

Do \(n\in N\Rightarrow n^2+6n+10>n^2-6n+10\)

\(\Rightarrow n^2-6n+10=1\)

\(\Leftrightarrow\left(n-3\right)^2=0\Leftrightarrow n=3\)

Xem lại đề xem 

A=n^2+28 hả

A=3k+29 => n=1, 4...

Đề là (n²-8)²+26 nhé :v

\(A=n^4-16n^2+64+36=n^4+20n^2+100-36n^2=\left(n^2+10\right)^2-36n^2=\left(n^2+6n+10\right)\left(n^2-6n+10\right)\)
A là số nguyên tố và \(n^2+6n+10>n^2-6n+10\) với mọi n nguyên dương
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n^2-6n+10=1\\n^2+6n+10=A\end{cases}}\). Đến đây đơn giản rồi nhỉ

Bài 1:

Ta có: \(a^2-ab+b^2=\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2+\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)

Nên \(\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{a+b}{2}\)

\(\Rightarrow2\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge a+b\left(1\right)\).Ta cũng có:

\(a^2-2ac+4c^2=\frac{3}{4}\left(a-2c\right)^2+\frac{1}{4}\left(a+2c\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+2c\right)^2\)

Nên \(\sqrt{a^2-2ac+4c^2}\ge\frac{a+2c}{2}\left(2\right)\), tương tự ta cũng có \(\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\ge\frac{b+2c}{2}\left(3\right)\)

Cộng theo vế của (1),(2) và (3) ta được

\(2\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{a^2-2ac+4c^2}+\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\)

\(\ge a+b+\frac{a+2c}{2}+\frac{b+2c}{2}=4c+\frac{a+b}{2}+\frac{4c}{2}=4c+2c+2c=8c\)

Suy ra điều phải chứng minh

Dấu "=" khi \(\hept{\begin{cases}a=b\\a=2c\\b=2c\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=2c\)