Tham khảo câu trả lời tại đây bạn nhé !

https://olm.vn/hoi-dap/detail/224113518607.html

Câu hỏi của An Van - Toán lớp 10 - Học toán với OnlineMath

Chúc bạn học tốt ^_^

Bài làm:

Ta có: \(n^3+3n^2+5n=\left(n^3+3n^2+2n\right)+3n\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+3n\)

Vì n(n+1)(n+2) là tích 3 STN liên tiếp 

=> n(n+1)(n+2) chia hết cho 3, mà 3n chia hết cho 3

=> đpcm

Với n = 1 thì \(x^1\ge2.x^0=0\)

Giả sử đẳng thức đúng với n = k nghĩa là : \(x^k\ge\left(k+1\right).x^{k-1}\).

Ta phải chứng minh :

\(x^n\ge\left(n+1\right).x^{n-1}\)đúng với n = k + 1. Ta phải chứng minh \(x^{k+1}\ge\left[\left(k+1\right)+1\right].x^{\left(k-1\right)+1}=\left(k+2\right).x^k\)

\(=\left(x^k.k+2x^k+1\right)-1=\left(x^k+1\right)^2-1\le x^{k+1}\)

Vậy đẳng thức luôn đúng với mọi \(n\inℕ^∗\)

Nếu có bạn nào trả lời thì ngoài t.i.c.k đúng tớ còn pải làm thế nào để 'chọn câu trả lời này'??

Gọi d là ƯCLN (2n+1;2n+3) (d thuộc N*)

=> (2n+3)-(2n+1) chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

Mà d thuộc N* => d={1;2}

Ta có 2n+1 không chia hết cho 2 và 2n+3 không chia hết cho 2

=> d=1

=> đpcm

Với mọi số tự nhiên n 

Đặt: ( 2n + 1; 2n + 3 ) = d ( với d là số tự nhiên )

=> \(\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(2n+1\right)⋮d\Rightarrow2⋮d\)

=> \(d\inƯ\left(2\right)=\left\{1;2\right\}\)

Mặt khác : 2n + 1 là số lẻ nên \(2n+1⋮̸2\)=> d = 1

=>  2n + 1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi n 

Vậy với mọi số tự nhiên  n thì \(A=\frac{2n+1}{2n+3}\) là phân số tối giản.

a) \(25^{n+1}-25^n=25^n\left(25-1\right)=25^n.4⋮25.4=100\)

b) \(n^2\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)=\left(n^2-2n\right)\left(n-1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\)

Tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 nên \(n^2\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)⋮6\)

c) \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

Tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 nên \(n^3-n⋮6\)

a,25^n.24

mà 25^n :5

a) \(25^{n+1}-25^n=25^n.\left(25-1\right)\)

\(=25^n.24=25^n.4.6\)

\(=\left(25^n.4\right).6⋮100\) ( do \(25^n.4⋮100\forall n\inℕ^∗\) )

b) \(n^2.\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)\)

\(=\left(n-1\right).\left(n^2-2n\right)\)

\(=\left(n-1\right).n.\left(n-2\right)\)

Ba số trên là ba số liên tiếp

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(n-1\right).n.\left(n-2\right)⋮2\\\left(n-1\right).n.\left(n-2\right)⋮3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(n-1\right).n.\left(n-2\right)⋮6\)

hay : \(n^2\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)⋮6\)

c) \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n.\left(n-1\right).\left(n+1\right)\)

Đến đây tương tự câu b) thì ta có đpcm.

\(=n^2\left(n^4-n^2+2n+2\right)=\)

\(=n^2\left[n^2\left(n^2-1\right)+2\left(n+1\right)\right]=\)

\(=n^2\left[n^2\left(n-1\right)\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)\right]=\)

\(=n^2\left[\left(n+1\right)\left(n^3-n^2+2\right)\right]=\)

\(=n^2\left\{\left(n+1\right)\left[\left(n^3+1\right)-\left(n^2-1\right)\right]\right\}=\)

\(=n^2\left\{\left(n+1\right)\left[\left(n^3+1\right)-\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]\right\}=\)

\(=n^2\left\{\left(n+1\right)\left[\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)-\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]\right\}=\)

\(=n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-n+1\right)-n^2\left(n+1\right)^2\left(n-1\right)=\)

\(=n^2\left(n+1\right)^2\left[\left(n^2-n+1\right)-\left(n-1\right)\right]=\)

\(=n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+2\right)\) Giả sử đây là số chính phương

\(\Rightarrow n^2-2n+2\) Phải là số chính phương

Ta có

\(n^2-2n+2=\left(n-1\right)^2+1\Rightarrow n^2-2n+2>\left(n-1\right)^2\) (1)

Ta có

\(n^2-2n+2=n^2-2\left(n-1\right)\) Với n>1

\(\Rightarrow n^2-2n+2< n^2\) (2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\left(n-1\right)^2< n^2-2n+2< n^2\)

Mà \(\left(n-1\right)^2\) và \(n^2\) là hai số chính phương liên tiếp nên \(n^2-2n+2\) không phải là số chính phương

=> Biểu thức đề bài đã cho không phải là số chính phương

dùng đồng dư đi :v 

2^2^2n=16^n

có 16 đồng dư 2 mod 7

=>16^n đồng dư 2 mod 7

=>16^n+5 đồng dư 0 mod 7

\(x^2-2xy+y^2+4x-4y-5\)

\(=\left(x-y\right)^2+4\left(x-y\right)+4-9\)

\(=\left(x-y+2\right)^2-9\)

\(=\left(x-y+2+3\right)\left(x-y+2-3\right)\)

\(=\left(x-y+5\right)\left(x-y-1\right)\)

a, = (x^2-2xy+y^2)+(4x-4y)-5

    = (x-y)^2+4.(x-y)-5

    = [(x-y)^2+4.(x-y)+4]-9

    = (x-y+2)^2-9

    = (x-y+2-3).(x-y+2+3)

    = (x-y-1).(x-y+5)

b, Xét : A = n^3+n+2 = (n^3+n)+2 = n.(n^2+1)+2

Nếu n chẵn => n.(n^2+1) chia hết cho 2 => A chia hết cho 2

Nếu n lẻ => n^2 lẻ => n^2+1 chẵn => n.(n^2+1) chia hết cho 2 => A chia hết cho 2

Vậy A chia hết cho 2 với mọi n thuộc N sao

Mà n thuộc N sao nên n.(n^2+1)+2 > 2

=> A là hợp số hay n^3+n+2 là hợp số

=> ĐPCM

Tk mk nha

Giang nó làm câu a rồi thì đây làm câu b 

Ta có : \(n^3+n+2=n^3+1+n+1=\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)+\left(n+1\right)\)

\(=\left(n+1\right)\left(n^2-n+2\right)\)

Do \(\forall\in\)N* nên n + 1 > 1 và \(n^2-n+2>1\)

Vậy \(n^3+n+2\)là hợp số

Ta có : 

\(n^3+4n^2+n\) \(=n\left(n^2+4n+1\right)\)\(=n\left(n^2+n+3n+3\right)\)\(=n\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)

Vì n và n+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp => n(n+1) chia hết cho 2                   (1)

Vì n lẻ => n+1 và n+3 là 2 số chẵn liên tiếp => ( n+1 )( n+3 ) chia hết cho 4                  (2)

Từ (1) và (2) => n(n+1)(n+3) chia hết cho 8

hay \(n^3+4n^2+n⋮8\)