ĐK:\(x\ge 1;y\ge 1\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(VT=x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1}\)

\(\le x\cdot\dfrac{y-1+1}{2}+2y\dfrac{x-1+1}{2}\)

\(=\dfrac{xy}{2}+\dfrac{2xy}{2}=\dfrac{3xy}{2}=VP\)

Xảy ra khi \(x=y=2\)

\(x^3+y^3+3xy=1\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-1-3xy\left(x+y\right)+3xy=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left[\left(x+y\right)^2+x+y+1\right]-3xy\left(x+y-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(x^2+y^2-xy+x+y+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2\right]=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y-1=0\\x=y=-1\end{matrix}\right.\)

TH1: \(x=y=-1\) thế vào pt dưới kiểm tra ko thỏa mãn

TH2: \(y=1-x\) thế vào pt dưới:

\(\sqrt{\left(4-x\right)\left(x+12\right)}=\dfrac{27}{x+3}\) (ĐKXĐ: \(-12\le x\le4;x\ne-3\))

- Với \(x< -3\) pt vô nghiệm, với \(x>-3\)

Đặt \(x+3=t>0\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(t+9\right)\left(7-t\right)}=\dfrac{27}{t}\Leftrightarrow64-\left(t+1\right)^2=\dfrac{27^2}{t^2}\)

\(\Leftrightarrow64=\dfrac{27^2}{t^2}+\left(t+1\right)^2=\dfrac{25^2}{t^2}+t^2+\dfrac{104}{t^2}+t+t+1\ge2\sqrt{\dfrac{25^2t^2}{t^2}}+3\sqrt[3]{\dfrac{104t^2}{t^2}}+1>65\) (vô lý)

Vậy hệ vô nghiệm

(1) + rút y từ pt (2) thay vào pt (1), ta được pt bậc hai 1 ẩn x, dễ rồi, tìm x rồi suy ra y

(2) + (3)

+ pt nào có nhân tử chung thì đặt nhân tử chung (thật ra chỉ có pt (2) của câu 2 là có nhân từ chung)

+ trong hệ, thấy biểu thức nào giống nhau thì đặt cho nó 1 ẩn phụ

VD hệ phương trình 3: đặt a= x+y ; b= căn (x+1)

+ khi đó ta nhận được một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, giải hpt đó rồi suy ra x và y

Bài ni cô hiền hay thầy tuấn ra vậy e

Like!!!

a) VT bạn bình phương rồi B.C.S sẽ được VT<=2

VP=3x^2-12x+12+2=3(x-2)^2+1>=2

Dấu = xảy ra khi x=2

\(\text{Đk: }1,5\le x\le2,5\)

Áp dụng bđt cauchy ta có: 

\(\text{VT }\Leftrightarrow\frac{2x-3+1+1-2x+1}{2}=2\)

Mà: \(\text{VP}=3\left(x-2\right)^2+2\ge2\)

\(\text{ĐT}\Leftrightarrow x=2\)

\(\Rightarrow x=2\)