1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp một đường tròn

Vẽ được các yếu tố để chứng minh phần (1).

Ta có M B O ^ = 90 0 ,   M A O ^ = 90 0  (theo t/c của tiếp tuyến và bán kính)

Suy ra:  M A O ^ + M B O ^ = 180 0 .Vậy tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

2) Chứng minh: MN² = NF. NA và MN = NH

Ta có A E / / M O ⇒ A E M ^ = E M N ^   mà   A E M ^ = M A F ^ ⇒ E M N ^ = M A F ^

Δ N M F   v à   Δ N A M có:  M N A ^ chung;  E M N ^ = M A F ^

nên  Δ N M F đồng dạng với  Δ N A M

⇒ N M N F = N A N M ⇒ N M 2 = N F . N A        1

Mặt khác có: A B F ^ = A E F ^ ⇒ A B F ^ = E M N   ^ h a y   H B F ^ = F M H ^  

=> MFHB là tứ giác nội tiếp

⇒ F H M ^ = F B M ^ = F A B ^   h a y   F H N ^ = N A H ^

Xét Δ N H F   &   Δ N A H   c ó   A N H   ^ c h u n g ;   N H F ^ = N A H ^

=> Δ N M F đồng dạng  Δ N A H ⇒ ⇒ N H N F = N A N H ⇒ N H 2 = N F . N A        2  

Từ (1) và (2) ta có NH = HM

3) Chứng minh:  H B 2 H F 2 − EF M F = 1 .

Xét Δ M AF  và Δ M E A  có: A M E ^  chung, M A F ^ = M E A ^

suy ra  Δ M AF  đồng dạng với  Δ M E A

⇒ M E M A = M A M F = A E A F ⇒ M E M F = A E 2 A F 2      (3)

Vì MFHB là tứ giác nội tiếp ⇒ M F B ^ = M H B ^ = 90 0 ⇒ B F E ^ = 90 0 và A F H ^ = A H N ^ = 90 0 ⇒ A F E ^   = B F H ^  

Δ A E F  và Δ H B F  có: E F A ^ = B F H ^   ;   F E A ^ = F B A ^

suy ra  Δ A E F   ~   Δ H B F  

⇒ A E A F = H B H F ⇒ A E 2 A F 2 = H B 2 H F 2                (4)

Từ (3) và (4) ta có M E M F = H B 2 H F 2 ⇔ M F + F E M F = H B 2 H F 2 ⇔ 1 + F E M F = H B 2 H F 2 ⇔ H B 2 H F 2 − F E M F = 1

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn
Xét tứ giác MAOB có: \(\widehat{MAO}=90\text{°}\) (MA là tiếp tuyến của (O)); \(\widehat{MBO}=90\text{°}\) (MB là tiếp tuyến của (O))
→ \(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=180\text{°}\)
mà \(\widehat{MAO}\) và \(\widehat{MBO}\) là hai góc đối nhau
→ Tứ giác MAOB nội tiếp (dhnb) (đpcm)

b) Chứng minh MA.AB = 2MH.AO
Ta có: OA = OB (A, B ∈ (O))
→ O thuộc đường trung trực của AB (1)
Lại có: MA = MB (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
→ M thuộc đường trung trực của AB (2)
Từ (1) và (2) → OM là đường trung trực của AB
→ OM ⊥ AB tại H và H là trung điểm của AB
→ \(\widehat{MHA}=90\text{°}\) và AB = 2AH
Xét ∆MAO và ∆MHA có: \(\widehat{MAO}=\widehat{MHA}=90\text{°}\); \(\widehat{M}\) chung
→ ∆MAO ∼ ∆MHA (g.g) → \(\dfrac{MA}{MH}=\dfrac{AO}{HA}\) (cặp cạnh tương ứng)
→ MA.HA = MH.AO
→ 2MA.HA = 2MH.AO
Mà AB = 2AH (cmt) → MA.AB = 2MH.AO (đpcm)

Ta có: \(\widehat{OAM}=\widehat{OBM}=90^o\)(Vì AM là đường trung tuyến của (O))

\(\Rightarrow\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=180^o\)

=> Tứ giác MAOB nội tiếp

Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có MA=MB; OA=OB 

=> MO là đường trung trực của AB 

=> MO _|_ AB tại H

Mà \(\widehat{BAE}=90^o\)hay AE _|_ AB. Do đó AE // MO

Vì AE // MO và MA là tiếp tuyến của (O) nên \(\widehat{NMF}=\widehat{AEF}=\widehat{NAM}\)

=> Tam giác NMA đồng dạng tam giác NFM (gg)
=> \(\frac{NM}{NF}=\frac{NA}{NM}\)\(\Rightarrow NM^2=AN\cdot NF\left(1\right)\)

Ta có: \(\widehat{MFB}=\widehat{MHB}=90^o\)=> Tứ giác MFHB nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{FHN}=\widehat{FBM}\)mà \(\widehat{FBM}=\widehat{NAH}\)

\(\Rightarrow\widehat{NAH}=\widehat{FHN}\)

\(\Rightarrow\Delta NAH\)đồng dạng \(\Delta NHF\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{NA}{NH}=\frac{NH}{NF}\Rightarrow NH^2=NA\cdot NF\left(2\right)\)

(1)(2) => NM²=NH² => MN=NH (đpcm)

Ta có: AE // MO => ^AEM=^OME (So le trong) hay ^AEF=^HMF

Mà ^AEF=^FBH (=^FBA) (Cung chắn cung AF) => ^HMF=^FBH

=> Tứ giác MFHB nội tiếp đường tròn.

=> ^BFH=^BMH. Mà ^BMH=^ABO (Cùng phụ với ^MBH) => ^BFH=^ABO.

Dễ thấy MO vuông góc AB tại H, do AE//MO => AE vuông góc AB (Q/h song song, vg góc)

Ta thấy 3 điểm B;A;E cùng nằm trên (O) và ^BAE=90⁰ => 3 điểm B;O;E thẳng hàng

=> ^ABO=^ABE. Do đó ^BFH=^ABE.

Lại có: ^ABE=^AFE (Cùng chắn cung AE) và ^AFE=^MFN (Đối đỉnh) => ^BFH=^MFN. 

Xét \(\Delta\)FHB và \(\Delta\)FNM: ^BFH=^MFN; ^FBH=^FMN

=> \(\Delta\)FHB ~ \(\Delta\)FNM (g.g) => \(\frac{BH}{MN}=\frac{FH}{FN}\)(1)

^MFN + ^NFB = 90⁰ => ^BFH + ^NFB = 90⁰ => ^NFH = 90⁰ 

=> \(\Delta\)NFH ~ \(\Delta\)HFA (g.g) => \(\frac{AH}{NH}=\frac{HF}{FN}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{BH}{MN}=\frac{AH}{NH}\). Mà AH=BH => MN=NH, thay vào hệ thức:

\(\frac{HB}{MN}=\frac{HF}{NF}\Leftrightarrow\frac{HB}{HF}=\frac{MN}{NF}\)(Do \(\Delta\)BHF ~ \(\Delta\)MNF)

=> \(\frac{HB}{HF}=\frac{NH}{NF}\Leftrightarrow\frac{HB^2}{HF^2}=\frac{NH^2}{NF^2}\)

Áp dụng hệ quả ĐL Thales: \(\frac{EF}{MF}=\frac{AF}{NF}\)

\(\Rightarrow\frac{HB^2}{HF^2}-\frac{EF}{MF}=\frac{NH^2}{NF^2}-\frac{AF}{NF}=\frac{NH^2-AF.NF}{NF^2}\)

Dễ có: \(\Delta\)NFH ~ \(\Delta\)NHA => \(\frac{NF}{NH}=\frac{NH}{NA}\Rightarrow NH^2=NF.NA\)

\(\Rightarrow NH^2-AF.NF=NF.NA-AF.NF=NF.\left(NA-AF\right)=NF.NF=NF^2\)

\(\Rightarrow\frac{NH^2-AF.NF}{NF^2}=\frac{NF^2}{NF^2}=1\Rightarrow\)\(\frac{HB^2}{HF^2}-\frac{EF}{MF}=1.\)(đpcm).

Thank

\(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^o+90^o=180^o\) mà 2 góc đối nhau nên tứ giác MAOB nội tiếp

cmđ: \(\hept{\begin{cases}\Delta MNF~\Delta ANM\left(gg\right)\Rightarrow MN^2=NF\cdot NA\\\Delta NFH~\Delta AFH\left(gg\right)\Rightarrow NH^2=NF\cdot NA\end{cases}}\)

vậy \(MN^2=HN^2\Rightarrow MN=NH\)

Có MA=MB (tc 2 đường tiếp tuyến cắt nhau) và AO=OB=R

=> MO là đường trung trực của AB

=> AH _|_ MO và HA=HB

\(\Delta\)MAF và \(\Delta\)MEA có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{AME}chung\\\widehat{MAF}=\widehat{AEF}\end{cases}\Rightarrow\Delta MAF~\Delta MEA\left(g.g\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{MA}{ME}=\frac{MF}{MA}\Rightarrow MA^2=ME\cdot MF\)

Áp dụng hệ lượng thức vào \(\Delta\)vuông MAO có: \(MA^2=MH\cdot MO\)

Do đó: \(ME\cdot MF=MO\cdot MH\Rightarrow\frac{ME}{MH}=\frac{MO}{MF}\)

=> \(\Delta MFH~\Delta MOE\left(cgc\right)\)

=> \(\widehat{MHF}=\widehat{MEO}\)

Vì \(\widehat{BAE}\)là góc nội tiếp (O) nên E;O;B thẳng hàng 

=> \(\widehat{FEB}=\widehat{FAB}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{EB}\right)\)=> \(\widehat{MHF}=\widehat{FAB}\)

=> \(\widehat{ANH}+\widehat{NHF}=\widehat{ANH}+\widehat{FAB}=90^o\)

=> HF _|_ NA

Áp dụng hệ lượng vào tam giác NHA có: NH²=NF.NA

=> NM²=NH² => NM=NH

Áp dụng hệ lượng thức vào tam giác vuông NHA có: HA²=FA.NA và HF²=FA.FN

=> \(\frac{HB^2}{HF^2}=\frac{HA^2}{HF^2}=\frac{FA\cdot NA}{FA\cdot FN}=\frac{NA}{FN}\)

=> HB²=AF.AN (vì HA=HB)

Vì AE//MN nên \(\frac{EF}{MF}=\frac{FA}{NF}\)(hệ quả định lý Talet)

=> \(\frac{HB^2}{HF^2}-\frac{EF}{MF}=\frac{NA}{NF}-\frac{FA}{NF}=\frac{NF}{NF}=1\)