\(S=\dfrac{1}{1x2}+\dfrac{1}{2x3}+\dfrac{1}{3x4}+\dfrac{1}{4x5}+...\dfrac{1}{nx\left(n+1\right)}\)

\(S=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+...\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\)

\(S=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}\)

\(T=\dfrac{3}{1x2}+\dfrac{3}{2x3}+\dfrac{3}{3x4}+\dfrac{3}{4x5}+...\dfrac{3}{nx\left(n+1\right)}\)

\(T=3x\left[\dfrac{1}{1x2}+\dfrac{1}{2x3}+\dfrac{1}{3x4}+\dfrac{1}{4x5}+...\dfrac{1}{nx\left(n+1\right)}\right]\)

\(T=3x\left[1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+...\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right]\)

\(T=3x\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)=\dfrac{3xn}{n+1}\)

Tổng đã cho là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với \(u_1=1\) ; \(q=\dfrac{1}{3}\)

Do đó: \(S=\dfrac{u_1}{1-q}=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{3}{2}\)

B = 1³ + 2³ + 3³ +....+ n³

B = ( 1+2+3+...+n)²

Với B =  1 ta có 1³ = 1² đúng

Giả sử B đúng với  n= k tức là: 

1³ + 2³ + 3³+...+ k³=(1+2+...+k)² (đúng)

Ta cần chứng minh B đúng với n = k + 1

Tức là Chứng minh:

1³ + 2³ + 3³ +...+ k³ + (k+1)³ = ( 1+2+...+k+1)²

Thật vậy ta có:

B = 1³ + 2³ + 3³ +...+ k³ + (k+1)³

B = (1+2+3+...+k)² +(k+1)³

B = [ k(k+1):2]² + (k+1)³

B = (k+1)²[ \(\dfrac{k^2}{4}\) + k + 1] = (k+1)²[ k² +4k +4]:4

B = (k+1)²[ k²+2k +2k+ 4] :4

B = (k+1)²[ k(k +2) + 2(k+2)]:4

B = (k+1)²(k+2)(k+2):4

B = {(k+1)(k+2) : 2}²

Mặt khác ta cũng có: 

1 + 2 + 3 + 4 +...+ k+ k+ 1 = (k+1+1)(k+1):2 = (k+1)(k+2):2

⇔ B = (1+2+3+...+k+1)²(đpcm)

Vậy B = 1³ +2³ + 3³ +...+n³ = (1+2+3+...+n)²

Toán lớp 5 chưa học cái này nha bạn

Lớp 5 chia học mũ lên lớp 6 mới học

B = 13 + 23 + 33 +....+ n3

B = ( 1+2+3+...+n)2

Với B =  1 ta có 13 = 12 đúng

Giả sử B đúng với  n= k tức là: 

13 + 23 + 33+...+ k3=(1+2+...+k)2 (đúng)

Ta cần chứng minh B đúng với n = k + 1

Tức là Chứng minh:

13 + 23 + 33 +...+ k3 + (k+1)3 = ( 1+2+...+k+1)2

Thật vậy ta có:

B = 13 + 23 + 33 +...+ k3 + (k+1)3

B = (1+2+3+...+k)2 +(k+1)3

B = [ k(k+1):2]2 + (k+1)3

B = (k+1)2[ �244k2​ + k + 1] = (k+1)2[ k2 +4k +4]:4

B = (k+1)2[ k2+2k +2k+ 4] :4

B = (k+1)2[ k(k +2) + 2(k+2)]:4

B = (k+1)2(k+2)(k+2):4

B = {(k+1)(k+2) : 2}2

Mặt khác ta cũng có: 

1 + 2 + 3 + 4 +...+ k+ k+ 1 = (k+1+1)(k+1):2 = (k+1)(k+2):2

⇔ B = (1+2+3+...+k+1)2(đpcm)

Vậy B = 13 +23 + 33 +...+n3 = (1+2+3+...+n)2

HT!

Viết lại S như sau: S= 1^3+2^3+3^3+4^3+......+ (n-1)^3+n^3 

ta cần nhớ lại hằng đẳng thức bậc 3 sau: a^3+b^3=(a+b)^3 -3ab(a+b),rồi ghép các cặp số liền kề với nhau là được VD như 1 và 2, 3 và 4, n-1 và n 

Khi đó S sẽ trở thành: S=(1+2)^3-3x1x2(1+2) + (3+4)^3 -3x3x4(3+4) +....+ (n-1+n)^3 -3xnx(n-1)(n-1-n) 

<=> S=(1+2)^3-3x1x2(1+2) + (3+4)^3 -3x3x4(3+4) +....+(2n-1)^3-3n(n-1)(2n-1) 

Vậy...................

Trong này có nhiều cách làm này bạn: Tính tổng $S= 1^3 + 2^3 + 3^3 +....+ n^3$ - Các dạng toán khác - Diễn đàn Toán học

A = \(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{2007}}+\frac{1}{3^{2008}}\)

3A= \(1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{2006}}+\frac{1}{3^{2007}}\)

3A-A= \(1-\frac{1}{3^{2008}}\)

B = \(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{n-1}}+\frac{1}{3^n}\)

3B = \(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{n-2}}+\frac{1}{3^{n-1}}\)

3B - B = \(1-\frac{1}{3^n}\)

Ta có :

\(A=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{2007}}+\frac{1}{3^{2008}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(3A=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{2006}}+\frac{1}{3^{2007}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(3A-A=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{2006}}+\frac{1}{3^{2007}}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{2007}}+\frac{1}{3^{2008}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(2A=1-\frac{1}{3^{2008}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(2A=\frac{3^{2008}-1}{3^{2008}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(A=\frac{3^{2008}-1}{3^{2008}}:2\)

\(\Leftrightarrow\)\(A=\frac{3^{2008}-1}{2.3^{2008}}\)

Vậy \(A=\frac{3^{2008}-1}{2.3^{2008}}\)

uses crt;

var s:real;

i,n:integer;

begin

clrscr;

readln(n);

s:=0;

for i:=1 to n do 

  s:=s+(n*(n+1))/((n+2)*(n+3));

writeln(s:4:2);

readln;

end.

=(a+b)[a^(n-1)-a^(n-2)*b+a^(n-3)*b^2-...+a^2*b(n-3)-a*b(n-2)+b(n-1)]