Trên một bảng đen ta viết ba số \(\sqrt{2},2,\frac{1}{\sqrt{2}}\). Ta bắt đầu thực hiện một trò chơi như sau: Mỗi lần chơi ta xóa hai số nào đó trong ba số trên bảng, giả sử là \(a\) và \(b\), rồi viết vào hai vị trí vừa xóa hai số mới là \(\frac{a+b}{\sqrt{2}}\) và \(\frac{\left|a-b\right|}{\sqrt{2}}\), đồng thời giữ nguyên số còn lại. Như vậy sau mỗi lần chơi trên bảng luôn có ba số. Chứng minh rằng dù ta có chơi bao nhiêu lần đi chăng nữa thì trên bảng không thể có đồng thời ba số \(\frac{1}{2\sqrt{2}},\sqrt{2},1+\sqrt{2}\).

Giải giúp mk nhé .

1 Cho tam giác ABC cân tại A, góc A = 80 độ. Trên đoạn BC lấy I sao cho góc BAI = 50 độ. Trên đoạn AC lấy K sao cho góc ABK = 30 độ. AI cắt BK tại H. CMR tam giác HIK cân . 

2 Cả lớp chơi 1 trò chơi. Thầy giáo viết lên bảng đen 3 số 6,9,69. Mỗi lượt chơi một học sinh xoá 2 số x, y và thay bằng hai số \(\frac{\text{|}x-y\text{|}}{\sqrt{2}}\) và \(\frac{\text{|}\text{x}+y\text{|}}{\sqrt{2}}\) . CMR 3 số \(2\sqrt{2},\sqrt{2},3\) không bao giờ cùng xuất hiện trên bảng. 

 Bài Toán Về Số Học:
 Trên bảng có viết các số  4 ; 5; 6 ; 7; 8 ; 9. Mỗi bước,  người ta chọn  2 số  x ; y  trên bảng, xóa đi và thay bằng  hai số  \(x+y+\sqrt{x^2+y^2}\)   và \(x+y-\sqrt{x^2+y^2}\).  Chứng minh rằng , trong mọi thời điểm, các số trên bảng đều lớn hơn 1 và luôn có một số nhỏ hơn 7.
 P/s:  Bài toán được biên soạn bởi thầy Võ Quốc Bá Cẩn và thầy Trần Quốc Anh
Em nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán gợi ý , giúp đỡ với ạ! Em cám ơn nhiều ạ!

Người ta viết lên bảng các số từ 1 đến 2015 . Sau đó , mỗi người được phép xóa 2 số bất kỳ trên bảng và thay vào đó là một số mới là hiệu của chúng . Cho đến khi trên bảng chỉ còn một số thì người ta viết thêm lên bảng các số từ 1 đến 2015 . Sau đó , mỗi người được phép xóa 2 số bất kỳ trên bảng và thay vào đó là một số mới là tổng của chúng . Cho đến khi trên bảng chỉ còn một số thì người ta viết thêm lên bảng các số từ 1 đến 2015 . Sau đó , mỗi người được phép xóa 2 số bất kỳ trên bảng và thay vào đó là một số mới là hiệu của chúng . . .

Người ta làm như vậy cả thảy 2015 lần . Hỏi số cuối cùng còn lại trên bảng có phải là số 0 không ? Vì sao ?