Vì \(n^2+2n+12\) là scp nên 

\(n^2+2n+12=k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n^2+2n+1\right)+11=k^2\)

\(\Leftrightarrow k^2-\left(n+1\right)^2=11\)

\(\Leftrightarrow\left(k-n-1\right)\left(k+n+1\right)=11\)

Vì k-n-1<k+n+1 nên

\(\left(k-n-1\right)\left(k+n+1\right)=1\cdot11\)

\(\hept{\begin{cases}k-n-1=1\\k+n+1=11\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}k-n=2\\k+n=10\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}k=6\\n=4\end{cases}}}\)

Vậy n=4

b) Tương tự

cảm ơn bạn

Ta có:

\(M=\frac{2}{1+\sqrt{a}}\le2\)

Mà để 18M là số chính phương thì M=2

Suy ra: \(\frac{2}{1+\sqrt{a}}=2\)

Suy ra: \(1+\sqrt{a}=1\)

\(\sqrt{a}=0\Rightarrow a=0\)

Vậy a=0

Lời giải:

Với $k\in\mathbb{N}$.

Nếu $n=3k$ thì:

$2^{2n}+2^n+1=2^{6k}+2^{3k}+1=64^k+8^k+1$

$\equiv 1^k+1^k+1\equiv 3\pmod 7$ (loại)

Nếu $n=3k+1$ thì:

$2^{2n}+2^n+1=2^{6k+2}+2^{3k+1}+1$

$=4.64^k+2.8^k+1\equiv 4+2+1\equiv 7\equiv 0\pmod 7$

Nếu $n=3k+2$ thì:

$2^{2n}+2^n+1=2^{6k+4}+2^{3k+2}+1$

$=16.64^k+4.8^k+1\equiv 16+4+1\equiv 0\pmod 7$

Vậy chỉ cần $n$ không chia hết cho $3$ thì $2^{2n}+2^n+1\vdots 7$

Nếu m > 1 hoặc m = 0 thì 53 x m không phải số nguyên tố vì tích của chúng chia hết cho 53 và m.

=> m = 1.

Vậy để 53 x m là số nguyên tố thì m = 1.

Điều kiện cần để n(n + 12) là số nguyên tố: n = 1 hoặc n + 12 = 1

Mà n + 12 > 1 (vì n là STN) nên n = 1

Thử lại: Với n = 1 thì \(n\left(n+12\right)=1.\left(1+12\right)=13\) là số nguyên tố

Vậy n = 1

không có số nào

A= n⁴ - 2n³ + 3n² - 2n = (n² - n +1)² - 1 => A < (n² - n + 1)²

A= (n² - n)² +2n² - 2n,             Nếu 2n²-2n > 0 => (n² - n +1)² > A > (n² - n)², lúc này A kẹp giữa 2 số chính phương liên tiếp => A không                                                                                                                                                                                       thể là số chính phương
Vậy 2n²-2n < 0 v 2n² - 2n = 0 => n= 0;1

ta có:

n⁴+3n³-22n²+6n : n²+2 = n²+3n-24 dư 48

=> n⁴+3n³-22n²+6n = (n²+3n-24) + \(\frac{48}{n^2+2}\)

=> n²+2 thuộc Ư₍₄₈₎  = {-1;-2;-3;-4;-6;-8;-12;-16;-24;-48;1;2;3;4;6;8;12;16;24;48}   (n²+2 luôn dương)

=> n² = {2-2; 3-2; 4-2;.........} = {0; 1; 2; 3; 4; 6;......... }

mà A có giá trị nguyên nên n² = {0; 1; 4}

=> n = {0; ±1; ±2}