Để ĐTHS cắt cả 2 trục tọa độ \(\Rightarrow m\ne0\)

Khi đó ta có: giao điểm với trục hoành: \(mx+2=0\Rightarrow x=-\dfrac{2}{m}\)

Giao điểm với trục tung: \(y=m.0+2=2\)

a. \(A\left(-\dfrac{2}{m};0\right)\Rightarrow OA=\left|x_A\right|=\left|\dfrac{2}{m}\right|\)

\(B\left(0;2\right)\Rightarrow OB=\left|y_B\right|=2\)

\(OA=OB\Rightarrow\left|\dfrac{2}{m}\right|=2\Rightarrow m=\pm1\)

b. \(C\left(-\dfrac{2}{m};0\right);D\left(0;2\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OC=\left|\dfrac{2}{m}\right|\\OD=2\end{matrix}\right.\)

\(tanC=\dfrac{OD}{OC}=\left|m\right|=2\Rightarrow m=\pm2\)

a, Hàm số đồng biến khi m - 2 > 0 => m > 2

b, Đồ thị hàm số y = ( m-2)x + m song song với y = -x - 1

⇔ m - 2 =  -1 ; m # -1=>  m = 1

với m = 1 thì đồ thị hàm số y = ( m-2)x + m có dạng y = -x + 1 và song song với đồ thị y = -x -1

c, Đồ thị hàm số y = (m-2)x + m cắt trục hoành tại điểm có tung độ bằng 0; 

nên y = 0 => (m-2)x + m = 0 => x = -m/(m-2) 

Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại A(-\(\dfrac{m}{m-2}\); 0)

Độ dài đoạn OA là |-\(\dfrac{m}{m-2}\)|

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm có hoành độ bằng 0 nên 

x=0; y = m 

Giao đồ thị với trục Oy là điểm B( 0;m)

Độ dài đoạn OB là |m|

Tam giác OAB cân ⇔ | -\(\dfrac{m}{m-2}\)| = |m|

                               \(\Leftrightarrow\) | \(\dfrac{m}{m-2}\)| =|m|

                                \(\Leftrightarrow\) |m-2| = 1 \(\Leftrightarrow\)  \(\left[{}\begin{matrix}m-2=1\\m-2=-1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\)  \(\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=1\end{matrix}\right.\)

vậy với m \(\in\){ 1; 3} thì đồ thị hàm số cắt trục Ox, Oy theo thứ tự tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB cân tại O

Để tìm m để đồ thị hàm số cắt hai trục Ox và Oy tại A và B sao cho chu vi tam giác OAB là 3 + căn 5, ta cần xác định tọa độ của A và B.

Điểm A nằm trên trục Ox, nên tọa độ của A là (x_A, 0). Thay vào phương trình hàm số y = mx + 2, ta có:

0 = mx_A + 2
=> mx_A = -2
=> x_A = -2/m

Điểm B nằm trên trục Oy, nên tọa độ của B là (0, y_B). Thay vào phương trình hàm số y = mx + 2, ta có:

y_B = m*0 + 2
=> y_B = 2

Chu vi tam giác OAB được tính bằng công thức chu vi tam giác:

chu_vi = AB + OA + OB

Với OA = x_A và OB = y_B, ta có:

chu_vi = AB + x_A + y_B

chu_vi = AB + (-2/m) + 2

chu_vi = AB - (2/m) + 2

Theo đề bài, chu vi tam giác OAB là 3 + căn 5, nên ta có:

3 + căn 5 = AB - (2/m) + 2

căn 5 = AB - (2/m) + 1

AB = căn 5 + (2/m) - 1

Ta đã có tọa độ của A và B, và chu vi tam giác OAB. Giờ ta sẽ tính độ dài AB:

AB = căn((x_A - 0)^2 + (y_B - 0)^2)

AB = căn((-2/m)^2 + 2^2)

AB = căn(4/m^2 + 4)

AB = căn(4(1/m^2 + 1))

AB = 2căn(1/m^2 + 1)

So sánh với công thức đã tính được trước đó:

AB = căn 5 + (2/m) - 1

Ta có:

2căn(1/m^2 + 1) = căn 5 + (2/m) - 1

Bình phương cả hai vế của phương trình:

4(1/m^2 + 1) = 5 + 4/m^2 + 1 - 4/m

4/m^2 + 4 = 6 + 4/m^2 - 4/m

8/m^2 = 2 - 4/m

Nhân cả hai vế của phương trình cho m^2:

8 = 2m^2 - 4

2m^2 = 12

m^2 = 6

m = ±√6

Vậy, để đồ thị hàm số cắt hai trục Ox và Oy tại A và B sao cho chu vi tam giác OAB là 3 + căn 5, ta có hai giá trị của m: √6 và -√6.

\(a,m=3\Leftrightarrow y=f\left(x\right)=x+2\)

\(b,\) PT giao Ox: \(y=0\Leftrightarrow x=-2\Leftrightarrow A\left(-2;0\right)\Leftrightarrow OA=2\)

PT giao Oy: \(x=0\Leftrightarrow y=2\Leftrightarrow B\left(0;2\right)\Leftrightarrow OB=2\)

Vậy \(S_{AOB}=\dfrac{1}{2}OA\cdot OB=\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot2=2\left(đvdt\right)\)

a. để hàm số đi qua M(-1,1) thì ta có 

\(1=\left(2m-1\right)\times\left(-1\right)+m+1\Leftrightarrow m=1\)

b.Hàm số cắt trụ tung tại điểm \(A\left(0,m+1\right)\)

Hàm số cắt trục hoành tại điểm \(B\left(\frac{-m-1}{2m-1},0\right)\)

Để OAB là tam giác cân thì ta có \(OA=OB\ne0\Leftrightarrow\left|m+1\right|=\left|\frac{-m-1}{2m-1}\right|\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left|2m-1\right|=1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=0\\m=1\end{cases}}\)

a, Để đồ thị đi qua điểm M(-1;1) thì ta thay  x = -1, y = 1 vào hàm số ta có:

\(1=\left(2m-1\right).\left(-1\right)+m+1\)

=>\(m=1\)

b,\(y=\left(2m-1\right)x+m+1\)

 Cho \(x=0=>y=m+1=>OA=|m+1|\)

 Cho \(y=0=>x=\frac{-m-1}{2m-1}=>B\left(\frac{-m-1}{2m-1};0\right)\)

\(=>OB=|\frac{-m-1}{2m-1}|=\frac{|m+1|}{|2m-1|}\)

\(\Delta AOB\)cân \(< =>\hept{\begin{cases}OA=OB\\OA>0\end{cases}}< =>\hept{\begin{cases}|m+1|\\|m+1|>0\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}|2m-1|\\m\ne-1\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}2m-1=1\\2m-1=-1\end{cases}}}< =>\hept{\begin{cases}m=1\\m=0\end{cases}}\)

Vậy với m = 0 hoặc m = 1 thì đồ thị hàm số thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Đặt \(y=\left(2m-1\right)x+m+1\)(d)

a, Thay x = -1 ; y = 1 vào đồ thị hàm số trên ta được : 

\(1=-2m+1+m+1\)với \(m\ne\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow-m=-1\Leftrightarrow m=1\)( tmđk )

b, d cắt trục Ox tại \(B\left(0;m+1\right)\)=> OB = \(\left|m+1\right|\)

d cắt trục Oy tại \(A\left(\frac{-m-1}{2m-1};0\right)\)=> OA = \(\left|\frac{-m-1}{2m-1}\right|\)

Để tam giác OAB cân khi \(OB=OA>0\)

hay \(\left|m+1\right|=\left|\frac{-m-1}{2m-1}\right|>0\)

\(\Leftrightarrow\left|2m-1\right|=1\Leftrightarrow m=0;m=1\)