Dãy số ( u n )   với u n = n 2 n  

Dễ thấy u n > 0     ∀ n ∈ N ∗ .  Xét tỉ số: u n u n + 1  

Ta có: u n u n + 1 = n 2 n . 2 n + 1 n + 1 = 2 n n + 1 > 1    ∀ n ≥ 1  

Thật vậy: 2 n n + 1 > 1 ⇔ 4 n n + 1 > 1 ⇔ 4 n > n + 1 ⇔ 3 n > 1  ( đúng ∀ n    ≥ 1  )

Do đó, u n   >     u n + 1 nên ( u n ) là một dãy số giảm.

Chọn đáp án B.

Xét hiệu:  

u n + 1 − u n = 1 n + 1 − 2 − 1 n − 2 = 1 n + 1 − 1 n = − 1 n ( n + 1 ) < 0    ∀ n ∈ ℕ *

Kết luận dãy số ( u n ) là dãy số giảm.

Chọn đáp án B

Với mọi n ∈ N ta có:

⇒ (un) là dãy số giảm.

Ta có  u n = n − 1 n + 1 = 1 − 2 n + 1

Xét hiệu  u n + 1 − u n = 1 − 2 n + 2 − 1 − 2 n + 1

= 2 n + 1 − 2 n + 2 =    2 ( ​ n + 2 ) − 2 ( n + 1 ) ( n + 1 ) . ( n + 2 ) = 2 ( n + 1 ) ( n + 2 ) > 0    ∀ n ∈ ℕ *

Kết luận dãy số ( u n )   là dãy số tăng.

Chọn đáp án D.

với n ∈ N*, n ≥ 1

Xét:

⇒ un + 1 – un < 0 ⇒ un + 1 < un

Vậy (un) là dãy số giảm

Với mọi n ∈ N có:

⇒ (un) là dãy số tăng.

Rõ ràng u n > 0 , ∀ n ∈ ℕ *  nên ( u n ) bị chặn dưới.

Lại có: 1 k k + 1 = 1 k − 1 k + 1 .

 Suy ra u n = 1 − 1 2 + 1 2 − 1 3 + ... + 1 n − 1 n + 1 = 1 − 1 n + 1 < 1 , ∀ n ∈ ℕ * nên ( u n ) bị chặn trên.

Kết luận  ( u n )  bị chặn.

Chọn đáp án C.

 un = (-1)n.(2n + 1)

Nhận xét: u1 < 0, u2 > 0, u3 < 0, u4 > 0, …

⇒ u1 < u2, u2 > u3, u3 < u4, …

⇒ dãy số (un) không tăng, không giảm.

Đáp án C