Cho \(\Delta ABC\) có 3 đường phân giác \(AD,BE,CF\) cắt nhau tại \(I\). Chứng minh rằng: \(\frac{AI^2}{AB.AC}+\frac{BI^2}{BA.BC}+\frac{CI^2}{CA.CB}=1\)
1. Cho tam giác ABC, 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng \(\frac{HB.HC}{AB.AC}+\frac{HC.HA}{BC.BA}+\frac{HA.HB}{CA.CB}=1\)
(gợi ý: đưa về \(\frac{Sbhc}{Sabc}+\frac{Sahc}{Sabc}+\frac{Sahb}{Sabc}=1\))
Cho tam giác ABC nhọn, ngoại tiếp đường tròn O. Chứng minh rằng:
\(\frac{OA^2}{AB.AC}+\frac{OB^2}{BA.BC}+\frac{OC^2}{CA.CB}=1\)
Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt AC; BC lần lượt tại M và N
Xét \(\Delta\)CMN có: CO là phân giác đồng thời là đường cao
=> \(\Delta\)CMN cân
=> ^CMN = ^CNM => ^CMO = ^CNO => ^AMO = ^BNO
=> ^MAO + ^AOM = ^NBO + ^BON ( 1)
Xét trong \(\Delta\)BOA ta có: ^ABO + ^BAO = ^AOM + ^BON ( = 180 \(^o\)- ^AOB )
=> ^NBO + ^MAO = ^AOM+ ^BON ( AO ; BO là phân giác ^A; ^B ) (2)
Từ (1)- (2) => ^AOM - ^NBO = ^NBO - ^AOM
=> ^AOM = ^NBO (3)
Từ (3) dễ dàng chứng minh đươc \(\Delta\)AOM ~ \(\Delta\)OBN ~ \(\Delta\)ABO ( g-g ) ( tự chứng minh )
Có: \(\Delta\)AOM ~ \(\Delta\)OBN => \(\frac{AM}{ON}=\frac{OM}{BN}\)=> AM.BN = OM. ON (4)
Có: \(\Delta\)OBN ~ \(\Delta\)ABO => \(\frac{OB}{BN}=\frac{AB}{OB}\)=> OB.OB = AB.BN => \(\frac{OB^2}{AB.BC}=\frac{BN}{BC}\)(5)
Có: \(\Delta\)AOM ~ \(\Delta\)ABO => \(\frac{OA}{AM}=\frac{AB}{OA}\)=> OA.OA =AM.AB => \(\frac{OA^2}{AB.AC}=\frac{AM}{AC}\)(6)
Xét \(\Delta\)cân CMN có: OM = ON ; CM = CN
Xét \(\Delta\)CON vuông tại O => CN\(^2\)= ON\(^2\)+ OC\(^2\)
=> OC \(^2\)= CN\(^2\)- ON\(^2\)= CN.CM - ON.OM = ( BC - BN ) ( AC - AM ) - ON.OM
= BC.AC - BN. AC - BC.AM + BN. AM - ON . OM = BC. AC - BN.AC - BC.AM ( theo 4 => BN. AM - ON . OM = 0)
=> \(\frac{OC^2}{CA.CB}=1-\frac{BN}{BC}-\frac{AM}{AC}\)(7)
Từ (5); (6) (7) => \(\frac{OC^2}{AC.BC}=1-\frac{OA^2}{AB.AC}-\frac{OB^2}{BA.BC}\)
Chuyển vế => Điều phải chứng minh
dùng cái này : \(\sin2\alpha=2sin\alpha.\cos\alpha\)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
a) Sabc = 1/2.AB.BC.sinB và AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC
b) tanB.tanC = AD/HD
c) H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác DEF
d) HB.HC/AB.AC + HC.HA/BC.BA + HA.HB/CA.CB = 1
Mn ghi đầy đủ GT, KL với vẽ hình hộ mình nha
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
a) Sabc = 1/2.AB.BC.sinB và AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC
b) tanB.tanC = AD/HD
c) H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác DEF
d) HB.HC/AB.AC + HC.HA/BC.BA + HA.HB/CA.CB = 1
cho tam giác ABC có 3 góc nhọn , gọi I là giao điểm của 3 đường phân giác trong ABC . Một đường thẳng vuông góc với CI tại I cắt AC và BC lần lượt tại M và N . CM:
a) \(AM.BN=IM.IN=IM^2=IN^2\)
b) \(\frac{IA^2}{AB.AC}+\frac{IB^2}{BA.BC}+\frac{IC^2}{CB.CA}=1\)
cho tam giác ABC có các đường phân giác BE, CF cắt nhau tại O và \(\frac{BO}{BE}.\frac{CO}{CF}=\frac{1}{2}\). chứng minh rằng tam giác ABC vuông tạiA
Khai bút thoi nào,hy vọng năm mới nhiều may mắn :)
Ký hiệu như hình vẽ nhá :)
Áp dụng định lý đường phân giác ta có:
\(\frac{CE}{CA}=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}\Rightarrow\frac{CE}{CA+CE}=\frac{a}{a+c}\Rightarrow\frac{CE}{b}=\frac{a}{a+c}\Rightarrow CE=\frac{ab}{a+c}\)
Áp dụng định lý đường phân giác lần nữa:
\(\frac{BO}{OE}=\frac{BC}{CE}=a\cdot\frac{a+c}{ab}=\frac{a+c}{b}\Rightarrow\frac{BO}{OE+OB}=\frac{a+c}{a+b+c}=\frac{BO}{BE}\)
Chứng minh tương tự:\(\frac{CO}{CF}=\frac{a+b}{a+b+c}\)
Mà \(\frac{BO}{BE}\cdot\frac{CO}{CF}=\frac{1}{2}\) nên \(\frac{a+c}{a+b+c}\cdot\frac{a+b}{a+b+c}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow2a^2+2ab+2ac+2cb=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2\)
=> đpcm
zZz Cool Kid_new zZz olm giờ nát vậy sao em :(
Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE , CF cắt nhau tại I . DF cắt BI tại M , DE cắt CI tại N . Biết AM = AN . Chứng minh rằng ABC là tam giác cân
Bạn kham khảo link này nhé.
Câu hỏi của Đào Gia Khanh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Cho tam giác ABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Qua I dựng đường thẳng vuông góc với IA cắt AB tại M và N. Chứng minh rằng:
a) \(\frac{BM}{CN}=\frac{BI^2}{CI^2}\)
b) \(BM.AC+CN.AB+AI^2=AB.AC\)
Cho tam giác ABC, AD, BE, CF là các đường phân giác trong, đồng quy tại I. Xác định dạng của tam giác ABC để
\(\frac{AI}{AD}.\frac{BI}{BE}.\frac{CI}{CF}\) đạt giá trị lớn nhất\(\frac{ }{ }\)