Theo đề ra,ta có:

\(3xy-2y=x^2+5\)

\(\Rightarrow y\left(3x-2\right)=x^2+5\left(1\right)\)

Do x,y nguyên nên \(x^2+5⋮3x-2\)

\(\Rightarrow9\left(x^2+5\right)⋮3x-2\)

\(\Rightarrow9x^2+45⋮3x-2\)

\(\Rightarrow9x^2-6x+6x-4+49⋮3x-2\)

\(\Rightarrow3x\left(3x-2\right)+2\left(3x-2\right)+49⋮3x-2\)

\(\Rightarrow49⋮3x-2\)

\(\Rightarrow3x-2\in\left\{49;7;1;-7;-1;-49\right\}\)

\(\Rightarrow3x\in\left\{51;9;3;-5;1;-47\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{1;3;7\right\}\)vì \(x\in Z\)

Với \(x=1\)thay vào \(\left(1\right)\),ta được y=6

Tương tự thì với \(x=3\Rightarrow y=2;x=7\Rightarrow y=6\)

Vậy các cặp số \(\left(x;y\right)\)thỏa mãn điều kiện trên là:\(\left(1;6\right);\left(3;2\right);\left(7;6\right)\)

P/S:bài giải dài,nếu không có gì sai sót quá nghiêm trọng thì mong mọi người bỏ qua cho.

Ta có:3xy-5=x\(^2\) +2y

⇒3xy-2y=x \(^2\)+5   (1)

Vì x,y là số nguyên nên:x\(^2\) +5 chia hết cho 3x-2

=>9(x^2+5) chia hết cho 3x-2 9x^2+45 chia hết cho3y-2

=>9x^2-6x+6x-4+49 chia hêt cho 3x-2

=>3x(3x-2)+2(3x-2)+49 chia hết cho 3x-2

=>46 chia hết cho 3x-2

=>3x-2 ∈ (49;-49;7;-7;1;-1)

<=>3x ∈ (51;-47;9;-5;3;1)

<=>x ∈ (1;3;17)

Thay x lần lượt vào (1) ta được y=6 hoặc y=2

Vậy y=2 hoặc y=2 

p/s : kham khảo

Ta có:3xy-5=x²+2y

⇒3xy-2y=x²+5               (1)

Vì x,y là số nguyên nên:x²+5 chia hết cho 3x-2
=>9(x^2+5) chia hết cho 3x-2
9x^2+45 chia hết cho3y-2
=>9x^2-6x+6x-4+49 chia hêt cho 3x-2
=>3x(3x-2)+2(3x-2)+49 chia hết cho 3x-2
=>46 chia hết cho 3x-2
=>3x-2 ∈ (49;-49;7;-7;1;-1)
<=>3x ∈ (51;-47;9;-5;3;1)
<=>x ∈ (1;3;17)
Thay x lần lượt vào (1) ta được y=6 hoặc y=2
Vậy y=2 hoặc y=2

Tham khảo tại đây nhé: Tìm x, y nguyên thoả 3xy-5=x^2+2y - Tay Thu (hoc247.net)