Chứng minh rằng\(\sqrt{1+2+3+...+\left(n-1\right)+n+\left(n-1\right)+...+3+2+1}\) = n
Chứng minh rằng\(\sqrt{1+2+3+...+\left(n-1\right)+n+\left(n-1\right)+...+3+2+1}\) = n
Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có: \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt[3]{2}}+...+\frac{1}{\left(X+1\right)\sqrt[3]{X}}\)
Chứng minh rằng :
\(A=\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+2\right).....\left(2^{2n}+1\right)\left(n\ge2;n\in N\right)\) Không chia hết cho 2.
Chứng minh đề bài sai
Ta có
\(2^8+2=2\left(2^7+1\right)\)
=>\(A⋮2\)
A không chia hết cho 2 vì toàn bộ thừa số của A đều lẻ.
t nghĩ đề là \(2^8+1\)
Đây này :
\(A=\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)...\left(2^{2n}+1\right)\)
\(=3.\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)....\left(2^{2n}+1\right)\)
\(=\left(2^2-1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)....\left(2^{2n}+1\right)\)
\(=\left(2^4-1\right)\left(2^4+1\right).....\left(2^{2n}+1\right)\)
\(=\left(2^8-1\right).....\left(2^{2n}+1\right)\)
\(=2^{4n}-1\)không chia hết cho 2
Sử dụng liên tục tính chất \(\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2\)để rút gọn ra số cuối cùng.
1. với \(n\in N,n\ge2\). chứng minh \(2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
2.chứng minh \(17< \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+....+\frac{1}{\sqrt{100}}< 18\)
Chứng minh rằng :
\(\frac{1}{1+2+3+...+n}\) =\(\frac{2}{n\left(n+1\right)}\)
Ta lấy vế trái , chia thành 2 vế .
Vế 1 : tử = 1 ( giữa nguyên )
Vế 2 , mẫu = ..... ( ta sẽ chuyển từ mẫu này , như sau )
Áp dụng công thức tính dãy số , ta có ( khoảng cách : 1)
[(n - 1) : 1 + 1] . (n + 1) : 2 = n.(n + 1) : 2
Bây giờ , chuyển lại vào phân số , ta có :
\(\frac{1}{1+2+3+.....+n}=\frac{1}{n.\left(n+1\right):2}=\frac{1}{1}:\frac{n\left(n+1\right)}{2}=\frac{1}{1}.\frac{2}{n\left(n+1\right)}=\frac{2}{n\left(n+1\right)}\)
Điều phải chứng minh
Cho An = \(\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)^n-\left(2-\sqrt{3}\right)^n}{2\sqrt{3}}\). Chứng minh rằng An là số nguyên và tìm n để An chia hết cho 3
Chứng minh rằng:
\(\left[\left(x+1\right)^{2n}+\left(x+2\right)^n-1\right]⋮\left(x^2+3x+2\right)\)
Ta có\(\left(x+1\right)^{2n}⋮\left(n+1\right)\)(1)
\(\left(x+2\right)^n-1=\left(x+1\right)\left[\left(x+2\right)^{n-1}+\left(n+2\right)^{n-2}+...+1\right]\)
\(\Rightarrow\left(x+2\right)^n-1⋮\left(x+1\right)\)(2)
Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\left[\left(x+1\right)^{2n}+\left(x+2\right)^n-1\right]⋮\left(x+1\right)\) (*)
Lại có\(\left(x+1\right)^{2n}-1\)
\(=\left[\left(x+1\right)^n+1\right]\left[\left(x+1\right)^n-1\right]\)
\(=\left[\left(x+1\right)^n-1\right]\left(x+2\right)\left[\left(x+1\right)^{n-1}-\left(x+1\right)^{n-2}+........+1\right]\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)^{2n}-1⋮\left(x+2\right)\)
Mà \(\left(x+2\right)^n⋮\left(x+2\right)\)
\(\Rightarrow\left[\left(x+1\right)^{2n}+\left(x+2\right)^n-1\right]⋮\left(x+2\right)\)(**)
Ta lại có (x+1) và (x+2) nguyên tố cùng nhau (***)
Từ (*);(**) và(***) \(\Rightarrow\left[\left(x+1\right)^{2n}+\left(x+2\right)^n-1\right]⋮\left(x^2+3x+2\right)\)
Chứng minh :\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+...+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}}< n+1\left(n\in Z^+\right)\)
Vì \(n\in Z^+\)nên\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)>n^3\Rightarrow\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}>n\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}>n\)(1)
Lại có:\(n^2+2n+1>n^2+2n\Rightarrow\left(n+1\right)^2>n\left(n+2\right)\Rightarrow\left(n+1\right)^3>n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
\(\Rightarrow n+1>\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\\ \Rightarrow\sqrt[3]{n^3+3n^2+3n+1}>\sqrt[3]{n^3+3n^2+2n}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{n^3+3n^2+2n+n+1}>\sqrt[3]{n^3+3n^2+2n+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{\left(n+1\right)^3}>\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}\)
Tương tự \(\Rightarrow n+1>\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}< n+1\)
\(n\in Z^+\)nên n2 < n2 + 2n < n2 + 2n + 1 <=> n2 < n(n + 2) < (n + 1)2 => n3 < n(n + 1)(n + 2) < (n + 1)3
=>\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}< n+1\)
=>\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n}\)\(< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n+1}\)\(=\sqrt[3]{\left(n+1\right)\left(n^2+2n+1\right)}=\sqrt[3]{\left(n+1\right)\left(n+1\right)^2}=n+1\)
=>\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n}\)
\(< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}}< n+1\)
Tiếp tục như vậy,ta có đpcm.
Sorry ! n2 < n(n + 2) nên n3 < n(n + 1)(n + 2) (vì n < n + 1)
1. Chứng minh rằng: \(\sqrt[3]{a^3+b^3+c^3}\le\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
2. Cho a,b,c là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng: \(\sqrt{\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}}\) là 1 số hữu tỉ
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{x^2y^2z^2}\)(1) với x+y+z=0. Bạn quy đồng vế trái (1) dc \(\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{x^2y^2z^2}=\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2-2\left(x+y+z\right)xyz}{x^2y^2z^2}\)