a/ Ta chứng minh: \(B=\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{2n}+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2n}=\left(5+2\sqrt{6}\right)^n+\left(5-2\sqrt{6}\right)^n\) là số nguyên với mọi n

Với \(n=0\Rightarrow B=2\)

Với \(n=1\Rightarrow B=10\)

Giả sử nó đúng đến \(n=k\) hay

\(\hept{\begin{cases}\left(5+2\sqrt{6}\right)^{k-1}+\left(5-2\sqrt{6}\right)^{k-1}=a\\\left(5+2\sqrt{6}\right)^k+\left(5-2\sqrt{6}\right)^k=b\end{cases}}\) \(\left(a,b\in Z\right)\)

Ta chứng minh nó đúng đến \(n=k+1\)

Ta có: \(\left(5+2\sqrt{6}\right)^{k+1}+\left(5-2\sqrt{6}\right)^{k+1}\)

\(=\left(5+2\sqrt{6}\right)\left(b-\left(5-2\sqrt{6}\right)^k\right)+\left(5-2\sqrt{6}\right)\left(b-\left(5+2\sqrt{6}\right)^k\right)\)

\(=b\left(5+2\sqrt{6}\right)-\left(5-2\sqrt{6}\right)^{k-1}+b\left(5-2\sqrt{6}\right)-\left(5+2\sqrt{6}\right)^{k-1}\)

\(=10b-a\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

b/ Đặt \(S_n=\left(5+2\sqrt{6}\right)^n+\left(5-2\sqrt{6}\right)^n=x^n+y^n\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x^2=10x-1\\y^2=10y-1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow S_{n+2}=x^{n+2}+y^{n+2}=10\left(a^{n+1}+b^{n+1}\right)-\left(a^n+b^n\right)=10S_{n+1}-S_n\)

\(\Rightarrow S_{n+2}+S_n=10S_{n+1}⋮10\)

Tương tự cũng có: \(S_{n+4}+S_{n+2}=10S_{n+3}⋮10\) 

\(\Rightarrow S_{n+4}-S_n⋮10\)

Từ đây ta thấy được \(S_{n+4}\equiv S_n\left(mod10\right)\)

Mà \(S_0=2\)

Vậy với mọi n chia hết cho 4 thì số tận cùng của B là 2.

Quay lại bài toán ta thấy \(1004⋮4\) nên M sẽ có chữ số tận cùng là 2.

Đặt \(A=\left[\sqrt{1}\right]+\left[\sqrt{2}\right]+\left[\sqrt{3}\right]+\left[\sqrt{4}\right]+...+\left[\sqrt{212041}\right]\)

\(=\left(\left[\sqrt{1}\right]+\left[\sqrt{2}\right]+\left[\sqrt{3}\right]\right)+\left(\left[\sqrt{4}\right]+...+\left[\sqrt{8}\right]\right)+\left(\left[\sqrt{9}\right]+...+\left[\sqrt{15}\right]\right)+...+\left(\left[\sqrt{210681}\right]+...+\left[\sqrt{211599}\right]\right)+\left(\left[\sqrt{211600}\right]+\left[\sqrt{212041}\right]\right)\)

Theo cách chia nhóm như trên, nhóm 1 có 3 số, nhóm 2 có 5 số, nhóm 3 có 7 số, nhóm 4 có 9 số, ..., nhóm 459 có 919 số, nhóm cuối cùng có 442 số. Các số thuộc nhóm 1 bằng 1, các số thuộc nhóm 2 bằng 2, các số thuộc nhóm 3 bằng 3, ..., các số thuộc nhóm 459 bằng 459, Các số thuộc nhóm cuối cùng bằng 460.

Do đó \(A=1.3+2.5+3.7+...+459.919+460.442\)

            \(=1\left(1.2+1\right)+2.\left(2.2+1\right)+3.\left(3.2+1\right)+...+459.\left(459.2+1\right)+203320\)

            \(=\left(2.1^2+1\right)+\left(2.2^2+1\right)+\left(2.3^2+1\right)+...+\left(2.459^2+1\right)+203320\)

            \(=2.\left(1^2+2^2+3^2+...+459^2\right)+\left(1+2+3+...+459\right)+203320\)

            \(=2.\frac{1}{6}.459.460.919+105570+203320=64988110\)

123hehe321

de lay cai nay cai nay xong roi lai lay cai day the la xong dot