Nếu Đặt p là nửa chu vi => p = (a + b + c)/2 => 2p = a + b + c 
=> p - a = (a + b + c)/2 - a 
=> p - a = (b + c + a - 2a)/2 
=> p - a = (b + c - a)/2 
=> 2(p - a) = b + c - a (1) 
Tương tự ta chứng minh được: 
2(p - b) = a + c - b (2) 
2(p - c) = a + b - c (3) 
Từ (1); (2) và (3) => 1/(a + b - c) + 1/(b +c - a) +1/(c +a - b) 
= 1/[ 2(p - c) ] + 1/[ 2(p - a) ] + 1/[ 2(p - b) ] 
=1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] 
Bây giờ ta đã đưa bài toán về chứng minh 
1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 1/a + 1/b + 1/c 
Ta có: (x - y)² ≥ 0 
<=> x² - 2xy + y² ≥ 0 
<=> x² - 2xy + y² + 4xy ≥ 4xy 
<=> x² + 2xy + y² ≥ 4xy 
<=> (x + y)² ≥ 4xy 
=> với x + y ≠ 0 và xy ≠ 0 
=> (x + y)²/(x+ y) ≥ 4xy/(x + y) 
=> (x + y) ≥ 4xy/(x + y) 
=> (x + y)/xy ≥ (4xy)/[xy(x + y)] 
=> 1/x + 1/y ≥ 4/(x + y) (*) 
Áp dụng (*) với x = p - a và y = p - b ta được: 
1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/(p - a + p - b) 
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/(2p - a - b) 
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/(a + b + c - a - b) 
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/c (4) 
Chứng minh tương tự ta được: 
1/(p - a) + 1/(p - c) ≥ 4/b (5) 
1/(p - b) + 1/(p - c) ≥ 4/a (6) 
Cộng vế với vế của (4);(5) và (6) ta được: 
1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - a) + 1/(p - c) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ≥ 4/c + 4/b + 4/a 
=> 2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 4/c + 4/b + 4/a 
=> 2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 4(1/a + 1/b + 1/c) 
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ≥ 2(1/a + 1/b + 1/c) 
=> 1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 1/2.( 2(1/a + 1/b + 1/c) ) 
=> 1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 1/a + 1/b + 1/c 
Dấu bằng xảy ra <=> a = b = c. 

Sai thì thôi nha !!! k mk nha

\(a\ge b;a\ge c\Rightarrow a+a+a\ge a+b+c\Rightarrow3a\ge a+b+c\Rightarrow\frac{a+b+c}{3}\le a\) (1)

bđt tam giác: \(a< b+c\Rightarrow a+a< a+b+c\Rightarrow2a< a+b+c\Rightarrow a< \frac{a+b+c}{2}\)(2)

(1); (2) suy ra đpcm

Không hiểu cách làm của bạn. Bài làm này chỉ cần bình thường thôi

 Ta có: \(a\ge b,a\ge c\)

          \(\Rightarrow b+c\le2a\)

          \(\Rightarrow a+b+c\le3a\)

           \(\Rightarrow\frac{a+b+c}{3}\le a\)  (1)

Xét \(\Delta ABC\)có \(a< b+c\)

                            \(\Rightarrow2a< a+b+c\)

                            \(\Rightarrow a< \frac{a+b+c}{2}\)  (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a+b+c}{3}\le a< \frac{a+b+c}{2}\)( đpcm)

              ( a<b+c vì trong một tam giác tổng độ dài 2 cạnh bao giờ cũng lớn hơn 1 một cạnh )

Chuẩn hóa: \(a+b+c=1\)

Vì a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên ta có: \(a,b,c\in\left(0;\frac{1}{2}\right)\)

Bài toán ban đầu trở thành:

\(P=\left(\frac{4}{1-a}-\frac{1}{a}\right)+\left(\frac{4}{1-b}-\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{4}{1-c}-\frac{1}{c}\right)\le9\)

Ta chứng minh: 

\(\frac{4}{1-x}-\frac{1}{x}\le18x-3\)

\(\Leftrightarrow\left(3x-1\right)^2\left(1-2x\right)\ge0\) (đúng)

Áp dụng bài toán ta được

\(P\le18\left(a+b+c\right)-9=9\)

Vậy ......

Nhan 2 ve voi a+b+c se ra

a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác nên a+b>c, b+c>a,c+a>b

Ap dụng \(\frac{x}{y}< \frac{x+z}{y+z}\) với \(x< y\Rightarrow\)\(\frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{b+c+a}=\frac{2a}{a+b+c}\)

Tương tự \(\frac{b}{c+a}< \frac{2b}{a+b+c}\)

               \(\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\)

Cộng 3 bđt được đpcm

Lời giải:

Vì $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác nên $a+b-c,a+c-b, b+c-a>0$
Áp dụng BĐT Cauchy dạng \(xy\leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2\) ta có:

\((a+b-c)(a+c-b)\leq \left(\frac{a+b-c+a+c-b}{2}\right)^2=a^2\)

\((a+b-c)(b+c-a)\leq \left(\frac{a+b-c+b+c-a}{2}\right)^2=b^2\)

\((b+c-a)(a+c-b)\leq \left(\frac{b+c-a+a+c-b}{2}\right)^2=c^2\)

Nhân theo vế các BĐT trên:

\([(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]^2\leq (abc)^2\)

\(\Rightarrow (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\leq abc\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$.