Hướng dẫn giải:

Gọi d là ƯCLN của 2n + 1 và  2 n 2 - 1

⇒ (2n +1)⋮ d và  ( 2 n 2 - 1 ) ⋮ d

⇒ [ n ( 2 n + 1 ) - ( 2 n 2 - 1 ) ] = n + 1 ⋮ d

⇒ 2(n + 1) ⋮ d ⇒ (2n + 2) – (2n + 1) = 1 ⋮ d

⇒ d = 1 hoặc d = -1

Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N

Gọi d = ƯCLN(n - 5; 3n - 14) (d thuộc N*)

=> n - 5 chia hết cho d; 3n - 14 chia hết cho d

=> 3.(n - 5) chia hết cho d; 3n - 14 chia hết cho d

=> 3n - 15 chia hết cho d; 3n - 14 chia hết cho d

=> (3n - 14) - (3n - 15) chia hết cho d

=> 3n - 14 - 3n + 15 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

Mà d thuộc N* => d = 1

=> ƯCLN(n - 5; 3n - 14) = 1

=> n - 5/3n - 14 là phân số tối giản (đpcm)

Gọi ước chung của 2n+3;n+1 là d 

=>2n+3 chia hết cho d và  n+1 chia hết cho d

=>2n+3 chia hết cho d và 2.(2n+1) chia hết cho d

=>2n+3 chia hết cho d và 2n+2 chia hết cho d

=>(2n+3)-(2n+2) chia hết cho d

=>2n+3-2n-2 chia hết cho d

=>(2n-2n)+(3-2) chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d thuộc tập hợp 1;-1

=>2n+3 và n+1 có ước chung là 1 và -1

Vậy với mọi số nguyên dương n thì 2n+3/n+1 là phân số tối giản 

Nếu thấy hay thì *** và kết bạn với mik nha !!!

gọi \(d\)là \(ƯC\left(2n+3;n+1\right)\)

\(\Rightarrow2n+3⋮d\)

\(\Rightarrow n+1⋮d\Rightarrow2.\left(n+1\right)⋮d\Rightarrow2n+2⋮d\)

\(\Rightarrow\left[\left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)\right]⋮d\)

\(\Rightarrow\left[2n+3-2n-2\right]⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)\RightarrowƯ\left(1\right)=1;-1\)

\(\Rightarrow2n+3;2n+2\)nguyên tố cùng nhau

vậy \(M=\frac{2n+3}{n-1}\)tối giản

goi d=UCLN(n³+2n;n⁴+3n²+1)          (d\(\in\)N^*)

\(\Rightarrow\)n³+2n va n⁴+3n² +1 chia het cho d \(\Rightarrow\)n⁴+3n²+1-n(n³+2n) =n²+1 chia het cho d

n³+2n -n(n²+1)=n chia het cho d\(\Rightarrow\)n² +1-n.n==1 chia het cho d\(\Rightarrow\)d \(\in\)U(1)ma d lon nhat , d\(\in\)N^* nen d=1 

do đó phân số trên là tối giản

giỏi lắm hoàng cảm ơn nhiều

phân số tối giản là phân số mà tử ko còn chia hết mẫu nên ta phải CM 7n + 4 ko chia hết 9n + 5

nhân 9 vào mẫu ta đc 63n + 36=7.(9n + 5) +1 mà 1 ko chia hết cho 9n+5, =>63n + 36 ko chia hết cho 5 =>7n + a ko chia hết cho 9n + 5

vậy ps đó tối giản

đó là 1 TH còn TH còn lại là cm tử ko chia hết mẩu là nhân 7 vàotuwr rồi làm tương tự

Gọi ƯCLN(7n+4; 9n+5) là d. Ta có:

7n+4 chia hết cho d => 63n+36 chia hết cho d

9n+5 chia hết cho d => 63n+35 chia hết cho d

=> 63n+36-(63n+35) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

=> ƯCLN(7n+4; 9n+5) = 1

=> 7n+4/9n+5 tối giản (đpcm)

Ta có :

 \(n^8+n+1=n^8-n^2+n^2+n+1\)

\(=n^2(n^6-1)+n^2+n+1\)

\(=n^2(n^2-1)(n^4+n^2+1)+n^2+n+1\)

\(=n^2(n^2-1)(n^4+2n^2+1-n^2)+n^2+n+1\)

\(=n^2(n^2-1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)+n^2+n+1⋮n^2+n+1\)

Mặt khác :

\(n^7+n^2+1=n^7-n+n^2+n+1\)

\(=(n-1)(n^6-1)+n^2+n+1\)

\(=(n-1)(n^2-1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)+n^2+n+1⋮n^2+n+1\)

Vậy chúng đều có ước chung \(n^2+n+1\)và \(n^2+n+1>1\)nên phân số đó không tối giản

Hok tốt :>