Cho hai điểm A và B cố định trên đường tròn (O).C là điểm chính giữa cung AB , M là điểm chuyển động trên dây AB. Tia CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D.CMR:
AC^2=CM+CD
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM thuộc một đường thẳng cố định
Những câu hỏi liên quan
Cho (O) và dây cung AB. Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoài đường tròn. Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ cắt dây AB tại D. Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ 2 là I. Các dây AB và QI cắt nhau tại K. Cho A, B, C là 3 điểm cố định. CMR: Khi O thay đổi nhưng vẫn đi qua A, B thì đường thẳng QI luôn đi qua 1 điểm cố định
cho đường tròn (O;R) có BC là dây cố định (BC2R) ; E là điểm chính giữa cung nhỏ BC. gọi A là điểm di động trên cung lớn BC và ABAC (A khác B). trên đoạn AC lấy điểm D khác C sao cho EDEC. tia BD cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là F. a) chứng minh D là trực tâm của tam giác AEF. b) gọi H là trực tâm tam giác DEC ; DH cắt BC tại N. đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là M. chứng minh đường thẳng DM luôn đi qua một điểm cố định.
Đọc tiếp
cho đường tròn (O;R) có BC là dây cố định (BC<2R) ; E là điểm chính giữa cung nhỏ BC. gọi A là điểm di động trên cung lớn BC và AB<AC (A khác B). trên đoạn AC lấy điểm D khác C sao cho ED=EC. tia BD cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là F.
a) chứng minh D là trực tâm của tam giác AEF.
b) gọi H là trực tâm tam giác DEC ; DH cắt BC tại N. đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là M. chứng minh đường thẳng DM luôn đi qua một điểm cố định.
a) Bổ đề: Xét tam giác ABC cân tại A, một điểm M bất kì sao cho ^AMB = ^AMC. Khi đó MB = MC.
Bổ đề chứng minh rất đơn giản, không trình bày ở đây.
Áp dụng vào bài toán: Vì E là điểm chính giữa (BC nên EB = EC = ED => \(\Delta\)BED cân tại E
Ta có ^BAE = ^CAE (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay ^BAE = ^DAE
Áp dụng bổ đề vào \(\Delta\)BED ta được AB = AD. Khi đó AE là trung trực của BD => AE vuông góc BD
Lại có \(\Delta\)BAD ~ \(\Delta\)CFD (g.g). Mà AB = AD nên FD =FC. Từ đó EF vuông góc DC
Xét \(\Delta\)AEF có FD vuông góc AE (cmt), AD vuông góc EF (cmt) => D là trực tâm \(\Delta\)AEF (đpcm).
b) Gọi DN cắt EC tại I. Ta dễ thấy ^MDI = ^MDN = ^MBN = ^MBC = ^MEC = ^MEI
Suy ra bốn điểm D,E,M,I cùng thuộc một đường tròn => ^EMD = ^EID = 900
Nếu ta gọi MD cắt cung lớn BC của (O) tại S thì ^EMS chắn nửa (O) hay ES là đường kính của (O)
Mà E là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên S là điểm chính giữa cung lớn BC
Do đó S là điểm cố định (Vì B,C cố định). Vậy MD luôn đi qua S cố định (đpcm).
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho đường tròn (O;R) và dây cố định AB < 2R. Gọi K là điểm chính giữa của cung nhỏ AB, N là điểm tùy ý trên đoạn thẳng AB. Nối KN kéo dài cắt (O) tại điểm thứ 2 là M
a) CM AK tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ANM
b) CM Tổng bán kính 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác ANM và BNM không phụ thuộc vào vị trí điểm N
Cho (O) đường kính AB . Gọi C là 1 điểm cố định trên đường tròn và M là điểm di động trên đường tròn ( M,O,C không thẳng hàng ) . Hai đường thẳng CM và AB cắt nhau tại D .
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMD luôn đi qua hai điểm cố định .
Gọi (OMD) cắt (O) tại S khác D. Ta có OD = OS, suy ra (OD và (OS của đường tròn (OMD) bằng nhau
Hay ^OMD = ^OMS. Lại có ^MCO = 1800 - ^OCD = 1800 - ^ODC = ^MSO. Do đó ^MOC = ^MOS
Suy ra \(\Delta\)MCO = \(\Delta\)MSO (g.c.g). Vậy S đối xứng với C qua AB, mà C và AB đều cố định nên S cố định
Khi đó (OMD) luôn đi qua 2 điểm cố định là S và O (đpcm).
Đúng 0
Bình luận (0)
gọi K là điểm đối xứng với C qua AB; C cố định nên K cũng cố định
ta sẽ chứng minh K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác OMD hay tứ giác OMDK là tứ giác nội tiếp đường tròn
K đối xứng với C qua AB => gócKOD= gócDOC = 2 gócCBA = gócCBK
mà tứ giác BCMN nội tiếp nên gócCBK= góc CMK=gócDMK
vậy góc KOD= gócDMK => tứ giác DOMK nội tiếp đường tròn hay đường tròn ngoại tiếp tam giác OMD luôn đi qua O và K là 2 điểm cố định
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho đường tròn (O), dây AB cố định (AB 2R). C là điểm chính giữa cung AB nhỏ; Kẻ đường kính CD cắt AB tại H. E là điểm bất kì thuộc cung AB lớn (E khác A, B). CE cắt AB tại F, hai đường thẳng DE và AB tại F, hai đường thẳng DE và AB cắt nhau tại M.1. Chứng minh rằng tứ giác EHCM nội tiếp.2. Chứng minh: DE.DMDH.DC3. Cho DF giao với CM tại I. Chứng tỏ:a. I thuộc đường tròn (O)b. HM là tia phân giác của góc EHI4. Khi E chuyển động trên cung AB lớn ( E khác A, B). Chứng tỏ E Iuôn đi qua 1 điểm cố...
Đọc tiếp
Cho đường tròn (O), dây AB cố định (AB < 2R). C là điểm chính giữa cung AB nhỏ; Kẻ đường kính CD cắt AB tại H. E là điểm bất kì thuộc cung AB lớn (E khác A, B). CE cắt AB tại F, hai đường thẳng DE và AB tại F, hai đường thẳng DE và AB cắt nhau tại M.
1. Chứng minh rằng tứ giác EHCM nội tiếp.
2. Chứng minh: DE.DM=DH.DC
3. Cho DF giao với CM tại I. Chứng tỏ:
a. I thuộc đường tròn (O)
b. HM là tia phân giác của góc EHI
4. Khi E chuyển động trên cung AB lớn ( E khác A, B). Chứng tỏ E Iuôn đi qua 1 điểm cố định.
Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định. Gọi C là một điểm diđộng trên (O) sao cho C khác A, C khác B và C không nằm chính giữa cung AB . Vẽđường kính CD của (O). Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A . Hai đường thẳng BC, BDcắt d tại E, F.1) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn2) Gọi M là trung điểm của EF và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE .Chứng minh : AB 2.IM3) Gọi H là trực tâm tam giác DEF . Chứng minh khi điểm C di động trên (O) thì điểm H luônchạy trên một đường trò...
Đọc tiếp
Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định. Gọi C là một điểm di
động trên (O) sao cho C khác A, C khác B và C không nằm chính giữa cung AB . Vẽ
đường kính CD của (O). Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A . Hai đường thẳng BC, BD
cắt d tại E, F.
1) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn
2) Gọi M là trung điểm của EF và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE .
Chứng minh : AB = 2.IM
3) Gọi H là trực tâm tam giác DEF . Chứng minh khi điểm C di động trên (O) thì điểm H luôn
chạy trên một đường tròn cố định.
Cho đường tròn (O:R) đường kính AB cố định . Trên tia đối của AB lấy điểm C sao cho ACR . Qua C kể đường thẳng d vuông góc với CA . Lấy điểm M bất kì trên đường tròn (O) không trùng với A,B. Tia BM cắt đường thẳng d tại P. Tia CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N tia PA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là Qa/ Cm A,C,P,M cùng thuộc 1 đường trònb/Tính BM.BP theo Rc/cm PC//NQ
Đọc tiếp
Cho đường tròn (O:R) đường kính AB cố định . Trên tia đối của AB lấy điểm C sao cho AC=R . Qua C kể đường thẳng d vuông góc với CA . Lấy điểm M bất kì trên đường tròn (O) không trùng với A,B. Tia BM cắt đường thẳng d tại P. Tia CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N tia PA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là Q
a/ Cm A,C,P,M cùng thuộc 1 đường tròn
b/Tính BM.BP theo R
c/cm PC//NQ
tg là tam giác nha !
a )
Ta có : gócABM = 90o ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB )
Ta có : gócABM + gócAPM = 180o ( 2 góc kề bù )
=> gócAPM = 180o - gócABM = 180o - 90o = 90o
Xét tứ giác ACPM , có :
gócACP = 90o ( gt )
gócAPM = 90o ( cmt )
gócACP + gócAPM = 90o + 90o =180o
Do đó : tứ giác ACPM nội tiếp được đường tròn ( có tổng số đo 2 góc đối diện bằng 180o )
=> A , C , P , M cùng thuộc 1 đường tròn .
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho đường tròn (O) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho AC > AB và AC> BC. Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt tia AD tại N. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng AB với CD; E là giao điểm của hai đường thẳng AD với BC. 1) Chứng minh rằng: tứ giác AMNC nội tiếp 2) Chứng minh CE.AN=MN.AC
Xem chi tiết
Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không đi qua tâm (O) cắt đường tròn tại hai điểm A và B .Gọi C là điểm thuộc đường thẳng d sao cho A nằm giữa B và C. Vẽ đường kính PQ vuông góc cói dây AB tại D (P thuộc cung lớn AB). Tia CP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I (I khác P) ,AB cắt IQ tại K1, Cm : tứ giác PDKI nội tiếp2, Cm: KB.IQBQ.BI3, Cm : IK là đường phân giác trong tam giác AIB và frac{AC}{BC}frac{AK}{BK} 4, Cho A,B,C cố định còn đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn đi qua AB . Cmr đường...
Đọc tiếp
Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không đi qua tâm (O) cắt đường tròn tại hai điểm A và B .Gọi C là điểm thuộc đường thẳng d sao cho A nằm giữa B và C. Vẽ đường kính PQ vuông góc cói dây AB tại D (P thuộc cung lớn AB). Tia CP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I (I khác P) ,AB cắt IQ tại K
1, Cm : tứ giác PDKI nội tiếp
2, Cm: KB.IQ=BQ.BI
3, Cm : IK là đường phân giác trong tam giác AIB và \(\frac{AC}{BC}=\frac{AK}{BK}\)
4, Cho A,B,C cố định còn đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn đi qua AB . Cmr đường thẳng IQ luôn đi qua 1 điểm cố định