Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn a + 2021b \(⋮\) 2022. Chứng minh rằng phân số \(\dfrac{2a+2020b}{3a+2019b}\) không là phân số tối giản.
\(a+2020b=a-b+2021b⋮2021\Rightarrow a-b⋮2021\).
\(P=\frac{2a+2019b}{3a+2018b}=\frac{2a-2a+2021a}{3a-3a+2021b}\)có tử và mẫu số đều chia hết cho \(2021\)mà cả tử và mẫu số đều lớn hơn \(2021\)(do \(a,b\)nguyên dương) nên suy ra \(P\)không là phân số tối giản.
Cho a,b là hai số nguyên dương khác nhau, thỏa mãn \(2a^2+a=3b^2+b\) .
Chứng minh \(\dfrac{a-b}{2a+2b+1}\) là phân số tối giản
cho các số nguyên dương x,y thỏa mãn \(x^3-9y^2+9x-6y=1\) a) chứng minh \(\dfrac{x}{x^2+9}\) là phân số tối giản b) tìm tất cả các cặp số (x;y)
Lời giải:
$x^3-9y^2+9x-6y=1$
$\Leftrightarrow x^3+9x=9y^2+6y+1$
$\Leftrightarrow x(x^2+9)=(3y+1)^2$
Đặt $(x,x^2+9)=d$ thì suy ra $9\vdots d(*)$
$(3y+1)^2=x(x^2+9)\vdots d^2\Rightarrow 3y+1\vdots d$. Mà $(3y+1,3)=1$ nên $(3,d)=1(**)$
Từ $(*);(**)\Rightarrow d=1$, hay $x,x^2+9$ nguyên tố cùng nhau.
$\Rightarrow \frac{x}{x^2+9}$ là phấn số tối giản.
cho m và n là các số nguyên dương thỏa mãn m/n là phân số tối giản và phân số 4m+3n/5m+2n không tối giản
Chứng minh rằng 3n-2 trên 4n-3 là phân số tối giản
Cho a trên b là một phân số chưa tối giản. Chứng minh rằng các phân sau chưa tối giản
a) a trên a-b
b) 2a trên a-2b
Cho phân số a/b là phân số chưa tối giản chứng minh rằng : 2a/(a - 2b) là phân số chưa tối giản
Lời giải:
Vì $\frac{a}{b}$ là phân số chưa tối giản nên $a,b$ còn có thể chia hết cho chung một số lớn hơn $1$.
Gọi số đó là $d$.
Ta có: $a\vdots d; b\vdots d\Rightarrow 2a\vdots a; a-2b\vdots d$
$\Rightarrow \frac{2a}{a-2b}$ là phân số không tối giản.
Cho phân số a/b là phân số chưa tối giản chứng minh rằng : 2a/(a - 2b) là phân số chưa tối giản
1)chứng tỏ rằng A =\(\dfrac{2^{2021}+3^{2021}}{2^{2022}+3^{2022}}\) là một phân số tối giản
2)cho 3 só nguyên tố lớn hơn 3, trong đó số sau lớn hơn số trước là d đơn vị.chứng minh d chia hết cho 6
A = \(\dfrac{2^{2021}+3^{2021}}{2^{2022}+3^{2022}}\)
Gọi ước chung lớn nhất của
22021 + 32021 và 22022+32022 là d (d\(\in\)N*)
Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}2^{2021}+3^{2021}⋮d\\2^{2022}+3^{2022}⋮d\end{matrix}\right.\)
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}2.(2^{2021}+3^{2021})⋮d\\2^{2022}+3^{2022}⋮d\end{matrix}\right.\)
Trừ vế với vế ta được 32022 - 2.32021 ⋮ d
⇒ 32021.( 3 - 2) ⋮ d
⇒ 32021 ⋮ d
⇒ d \(\in\){ 1; 3; 32; 33;........32021)
nếu d \(\in\) { 3; 32; 33;.....32021) thì
⇒ 22021 + 32021 ⋮ 3 ⇒ 22021 ⋮ 3 ( vô lý )
vậy d = 1
Hay phân số A = \(\dfrac{2^{2021}+3^{2021}}{2^{2022}+3^{2022}}\) là phân số tối giản (đpcm)
Cho a/b là phân số tối giản. Chứng minh rằng phân số sau chưa tối giản: 2a/a-2b