8 hay 6???

Ta có :

\(a+b+c=0\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\) (1)

Ta lại có :

\(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

Tương tự :

\(b^2+c^2\ge2bc\)

\(a^2+c^2\ge2ac\)

Do đó :

\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\) (2)

Thay (2) vào (1) ta được:

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac\le0\)

\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ac\right)\le0\) (3)

Ta có : \(a,b\ge-1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+1\ge0\\b+1\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow ab+a+b+1\ge0\)

Tương tự:

\(bc+c+b+1\ge0\)

\(ac+c+a+1\ge0\)

Do đó :

\(ab+a+b+1+bc+b+c+1+ac+a+c+1\ge0\)

\(\Rightarrow\left(ab+bc+ac\right)+2\left(a+b+c\right)+3\ge0\)

\(\Rightarrow\left(ab+bc+ac\right)+3\ge0\) (do \(a+b+c=0\) )

\(\Rightarrow ab+bc+ac\ge-3\)

\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ac\right)\ge-6\) (4)

Từ (3) và (4) ta có:

\(0\ge2\left(ab+bc+ac\right)\ge-6\) (5)

Từ (1) và (5) suy ra :

\(0\le a^2+b^2+c^2\le6\)

\(\rightarrowđpcm\)

\(-1\le a\le2\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+1\ge0\\a-2\le0\end{cases}\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)\le0}\)

Tương tự \(\left(b+1\right)\left(b-2\right)\le0,\left(c+1\right)\left(c-2\right)\le0\)

=> (a+1)(a-2)+(b+1)(b-2)+(c+1)(c-2)\(\le\)0 => a²+b²+c²-(a+b+c)-6\(\le\)0 

=>a²+b²+c² \(\le\)6 

Dấu "=" xảy ra <=> (a+1)(  a-2)=0, (b+1)(b-2)=0, (c+1)(c-2)=0 , a+b+c=0 <=> a=2, b=c=-1 và các hoán vị 

theo đề  \(-1\le a\le2\Leftrightarrow\left(a-2\right)\left(a+1\right)\le0\Leftrightarrow a^2-a-2\le0\)

tương tự

\(b^2-b-2\le0\)

\(c^2-c-2\le0\)

nên \(a^2-a-2+c^2-c-2+b^2-b-2\le0\)

\(a^2+c^2+b^2-6\le0\Leftrightarrow a^2+c^2+b^2\le6\)

1.

\(-1\le a\le2\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+1\ge0\\a-2\le0\end{cases}\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)\le0\Leftrightarrow a^2\le}2+a\)

Tương tự \(b^2\le2+b,c^2\le2+c\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le6+a+b+c=6\)

Dấu "=" xảy ra khi a=2,b=c=-1 và các hoán vị của chúng

Xét \(\frac{a^2+1}{a}=a+\frac{1}{a}\)

Dễ thấy dấu "=" xảy ra khi  \(a=\frac{1}{3}\)

khi đó \(a+\frac{1}{a}=a+\frac{1}{9a}+\frac{8}{9a}\ge2\sqrt{\frac{a.1}{9a}}+\frac{8}{\frac{9.1}{3}}=\frac{10}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+1}\le\frac{3}{10}\)

tương tự =>đpcm

lười quá khỏi nghĩ đưa link

| Inequalities (ko dịch dc thì pm)