cho n là số nguyên dương. CMR:nếu n2 là hiệu lập phương của hai số tự nhiên liên tiếp thì n là tổng bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp
Cho n là số nguyên dương. Chứng minh nếu n^2 là hiệu lập phương của 2 số tự nhiên liên tiếp thì n là tổng bình phương của 2 số tự nhiên liên tiếp
Cho n là số nguyên dương sao cho \(\frac{n^2-1}{3}\)là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng : 2n-1 là số chính phương và n là tổng hai số chính phương liên tiếp.
a) Từ giả thiếtta có thể đặt : \(n^2-1=3m\left(m+1\right)\)với m là 1 số nguyên dương
Biến đổi phương trình ta có :
\(\left(2n-1;2n+1\right)=1\)nên dẫn đến :
TH1 : \(2n-1=3u^2;2n+1=v^2\)
TH2 : \(2n-1=u^2;2n+1=3v^2\)
TH1 :
\(\Rightarrow v^2-3u^2=2\)
\(\Rightarrow v^2\equiv2\left(mod3\right)\)( vô lí )
Còn lại TH2 cho ta \(2n-1\)là số chính phương
b) Ta có :
\(\frac{n^2-1}{3}=k\left(k+1\right)\left(k\in N\right)\)
\(\Leftrightarrow n^2=3k^2+3k+1\)
\(\Leftrightarrow4n^2-1=12k^2+12k+3\)
\(\Leftrightarrow\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)=3\left(2k+1\right)^2\)
- Xét 2 trường hợp :
TH1 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=3p^2\\2n+1=q^2\end{cases}}\)
TH2 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=p^2\\2n+1=3q^2\end{cases}}\)
+) TH1 :
Hệ \(PT\Leftrightarrow q^2=3p^2+2\equiv2\left(mod3\right)\)( loại, vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 )
+) TH2 :
Hệ \(PT\Leftrightarrow p=2a+1\Rightarrow2n=\left(2a+1\right)^2+1\Rightarrow n^2=a^2+\left(a+1\right)^2\)( đpcm )
Bài 4 :
a) Tìm hai số tự nhiên chẵn liên tiếp biết hiệu các bình phương của 2 số ấy là 68
b) Tìm hai số tự nhiên lẻ liên tiếp biết tổng các bình phương của 2 số ấy là 2594
c) Tìm tất cả số tự nhiên n thỏa mãn \(n^2+6n+12\) là số chính phương
gọi 2 số đó là a; a + 2 (a thuộc N; a chẵn)
có a^2 - (a + 2)^2 = 68
=> a^2 - a^2 - 4a - 4 = 68
=> -4a - 4 = 68
=> -4a = 72
=> a = 18
=> a + 2 = 20
1. Tính tổng của n số lẻ đầu tiên
2. Chứng minh rằng mỗi số lẻ là hiệu của bình phương hai số tự nhiên liên tiếp. Áp dụng viết số 37 dưới dạng hiệu của bình phương hai số lẻ liên tiếp
Viết biểu thức đại số để biểu thị
a) Tổng và hiệu lập phương của x và y.
b) Lậpphươngcủatổngvàhiệucủaxvày.
c) Tổng các bình phương của n số tự nhiên liên tiếp
d) Tổnglậpphươngcácsốtựnhiêntừ1đến N
e) Trung bình cộng của n số tự nhiên liên tiếp
Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n vừa là tổng của 5 số nguyên dương liên tiếp vửa là tổng của 7 số nguyên dương liên tiếp vừa là tổng của 9 số nguyên dương liên tiếp.
Tổng của 5 số nguyên dương liên tiếp có dạng: \(\frac{\left(a+a+4\right)\cdot5}{2}=5\left(a+2\right)⋮5\)
(a và a+4 là số đầu và số cuối khi xếp từ bé đến lớn)
Làm tương tự với tổng của 7 số và 9 số
Suy ra số cần tìm chia hết cho 5,7,9
Mà BCNN(5,7,9)=315 nên số cần tìm là 315
hiệu bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp là 15. tìm số tự nhiên bé trong hai số đó?
Gọi 2 số là a và b(a là số bé)
ta có: b2-a2=15
<=>(b+a)(b-a)=15
<=>(a+a+1)(a+1-a)=15(vì b=a+1)
<=>(2a+1)*1=15
=>2a+1=15
<=>2a=14
<=>a=7
Vậy số bé là 7
hiệu bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp là 15 . hỏi số tự nhiên lớn trong hai số đó là bao nhiêu ?
Gọi 2 số đề cho là a;b
Ta có: a=b+1
a2-b2=15
(b+1)2-b2=15
=>b=7
=>a=7+1=8
Vậy số tự nhiên lớn trong 2 số đó là 8
1) Tìm tổng của n số lẻ đầu tiên.
2) Chứng minh rằng mỗi số lẻ là hiệu của bình phương hai số tự nhiên liên tiếp.
-Áp dụng viết số 37 dưới dạng hiệu của bình phương hai số lẻ liên tiếp.
NHỚ GIẢI RA NHÉ! MIK CẢM ƠN!