vì a+b=6 nên a,b<=6 

=> ab<=9

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le9\Rightarrow a+b+c\le3\left(1\right)\)

Ta có:\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\le3\left(2\right)\)

Cộng vế với vế của\(\left(1\right),\left(2\right)\)ta được:

\(a+b+c+ab+bc+ca\le3+3=6\left(đpcm\right)\)

Đề : ab + 4bc + ca \(\le\)0 

Có : a + b + c = 0 => a = - b - c

Thay vào ab + 4bc + ca \(\le\)0 ta đc:

(-b - c).b + 4bc + c.(-b - c) \(\le\) 0

=> -b² - bc + 4bc - bc - c² \(\le\)0

=> -b² - c² + 2bc \(\le\)0

=> - (b² - 2bc + c²) \(\le\) 0

=> -(b - c)² \(\le\) 0 (luôn đúng)

Vậy ab + 4bc + ca  \(\le\) 0

abc bằng 0

vì M+N = 2 => M=1+k và N = 1-k

=> M.N = (1+k)(1-k) = 1-k+k-k² = 1-k² < 1 vì k²>0 với mọi k (đpcm)

Các số nguyên a tạo thành dãy

-14,-13;.......-1;0;1;..........................13,14,15;16;17;18

Tổng của chúng là 15+16+17+18=66=2.33 chia hết cho 33