tìm ba sô dương a,b,c thỏa nãm
\(\frac{a^2+7}{4}=\frac{b^{^2}+6}{5}=\frac{c^2+3}{6}\)và a2+2a2=3b2+19
a) Tìm 3 số dương a , b , c thỏa mãn : \(\frac{a^2+7}{4}=\frac{b^2+6}{5}=\frac{c^2+3}{6}\) và \(a^2+2c^2=3c^2+19\)
b) Tìm GTNN của biểu thức : \(P=x^4+2x^3+3x^2+2x+1\)
a) Từ giả thiết : \(a^2+2c^2=3b^2+19\Rightarrow a^2+2c^2-3b^2=19\)
Ta có : \(\frac{a^2+7}{4}=\frac{b^2+6}{5}=\frac{c^2+3}{6}=\frac{3b^2+18}{15}=\frac{2c^2+6}{12}\)\(=\frac{a^2+7+2c^2+6-3b^2-18}{4+12-15}=\frac{14}{1}=14\)
\(\Rightarrow\)\(a^2=49\Rightarrow a=7\)
\(\Rightarrow\)\(b^2=64\Rightarrow b=8\)
\(\Rightarrow\)\(c^2=81\Rightarrow c=9\)
b) \(P=x^4+2x^3+3x^2+2x+1\)
\(=\left(x^4+2x^2+1\right)+\left(2x^3+2x\right)+x^2=\left(x^2+1\right)^2+2x\left(x^2+1\right)+x^2\)
\(=\left(x^2+x+1\right)^2\)
Vì \(x^2+x+1=\left(x^2+2x\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)
Nên \(P\ge\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=-\frac{1}{2}\)
Tìm a, b, c dương biết:
\(\frac{a^2+7}{4}=\frac{b^2+6}{5}=\frac{c^2+3}{5}\) và \(a^2=3b+19\)
Tìm 3 số dương a,b,c thỏa mãn \(\frac{a^2+7}{4}=\frac{b^2+6}{5}=\frac{c^2+3}{6}\)
Và \(a^2+2c^2=3c^2+19\)
Happy new year!!!
Ta có : \(\frac{a^2+7}{4}=\frac{2b^2+12}{10}=\frac{3c^2+9}{18}=\frac{a^2+2b^2+3c^2+28}{32}\)
Mà \(a^2+2b^2=3c^2+19\)thay vào trên ta đc :
\(\frac{3c^2+9}{18}=\frac{3c^2+19+3c^2+28}{32}\)
Giải pt 1 ẩn trên ta đc : \(4c^2+186=0\) Vì \(4c^2\ge0\) Suy ra pt vô nghiệm
Vậy ko tồn tại các số : a,b,c .
Từ giả thiết: \(a^2+2c^2=3b^2+19\Rightarrow a^2+2c^2-3b^2=19\)
Ta có: \(\frac{a^2+7}{4}=\frac{b^2+6}{5}=\frac{c^2+3}{6}=\frac{3b^2+18}{15}=\frac{2c^2+6}{12}=\frac{a^2+7+2c^2+6-3b^2-18}{4+12-15}=14\)
Suy ra: \(a^2=49\Rightarrow a=7\)
\(b^2=64\Rightarrow b=8\)
\(c^2=81\Rightarrow c=9\)
Biết a – b = 7 tính : A = a2(a + 1) – b2(b – 1) + ab – 3ab(a – b + 1)
Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa nãm đẳng thức : \frac{a+b-c}{c} =\frac{a+c-b}{b} =\frac{c+b-a}{c}
Tính : P = \frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}
đề bài sai rồi
Ta cóA=a3+a2-b3+b2+ab-3ab(a-b+1)
=(a3-b3)+(a2+ab+b2)-24ab(do a-b=7)
=(a-b)(a2+ab+b2)+(a2+ab+b2)-24ab
=(a2+ab+b2)(a-b+1)-24ab
mà a-b=7=>A=8a2+8ab+8b2-24ab
=8a2-16ab+8b2
=8(a-b)2=8 . 72=8 . 49=392
cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1. CMR:\(\frac{1}{\sqrt{a^5+b^2+ab+6}}+\frac{1}{\sqrt{b^5+c^2+bc+6}}+\frac{1}{\sqrt{c^5+a2+ca+6}}\)\(\le\)\(1\)
Ta có:\(a^5+ab+b^2\ge3a^2b\)
Tương tự ta có:
\(VT\le\frac{1}{\sqrt{3ab\left(a+2c\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3bc\left(b+2a\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3ca\left(c+2b\right)}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\sqrt{\frac{c}{c+2a}}+\sqrt{\frac{a}{b+2a}}+\sqrt{\frac{b}{2b+c}}\right)\)
Ta cũng có:\(a+2c=a+c+c\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{a}+2\sqrt{c}\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+2\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}+2\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}+2\sqrt{b}}\)
Đặt \(x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}};y=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}};z=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{b}};xyz=1\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}\)
Giả sử \(xy\le1\) thì \(z\ge1\)
Ta có: \(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\frac{x}{2}+1}+\frac{1}{\frac{y}{2}+1}\right)+\frac{1}{z+2}\)
\(\le\frac{1}{1\frac{\sqrt{xy}}{2}}+\frac{1}{z+2}\le1\)(Đpcm)
Dấu = khi \(a=b=c=1\)
sao chứng minh đc \(a^5+ab+b^2\ge3a^2b\)vậy bạn
a,b dương thì áp dụng Cô si
a5+ab+b2 \(\ge3\sqrt[3]{a^5\cdot a\cdot b\cdot b^2}=3\sqrt[3]{a^6b^3}=3a^2b\)
hiểu chưa ???
Bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa nãm a+b+c=1. Tìm GTNN của biểu thức
\(H=\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ca}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b}\)
Bài 2:Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn \(a^2-6ab-2b^2=0\)
Tính giá trị của biểu thức \(P=\frac{ab}{a^2+2b^2}\)
Cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức
\(7\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=6\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+3\)
Tìm GTLN của biểu thức:
\(A=\frac{1}{\sqrt{a^3+b^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^3c^3+2}}+\frac{4\sqrt{3}}{c^6+2a^3+9}\)
\(7\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=6\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)+3\ge7\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\le3\)Áp dụng BĐT AM-GM ta có :
\(A=\frac{1}{\sqrt{a^3+b^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^3c^3+1+1}}+\frac{4\sqrt{3}}{c^6+1+2a^3+8}\)
\(\le\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{4\sqrt{3}}{2c^3+2a^3+8}=\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{2\sqrt{3}}{c^3+a^3+4}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{2\sqrt{3}}{c^3+a^3+1+1+1+1}\)
\(\le\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{2\sqrt{3}}{6\sqrt{ac}}=\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{1}{\sqrt{3ac}}\)\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}\right)\)
\(\le\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{3\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\right)}=\sqrt{\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\right)}\le\sqrt{3}\) (Bunhiacopxki)
Dấu "=" xảy ra\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
PS : Thánh cx đc phết ha; chế đc bài này tui mới khâm phục :)))
nó ko chém đâu anh nó chép trong toán tuổi thơ đấy,thk này khốn nạn lắm
Bài 1: Cho a,b dương và \(2a+3b=ab\) Chứng minh rằng
\(a+b\ge5+2\sqrt{6}\)
Bài 2: Cho a,b dương và \(a+b=ab\) Tìm giá trị lớn nhất của
\(S=\frac{1}{a}+\frac{2}{a+b}\)
Bài 3: Cho a,b là các số dương. Tìm giá trị bé nhất của
\(S=\frac{a^2+b^2}{b^2+2ab}+\frac{b^2}{a^2+2b^2}\)
Bài 4: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=9\)Chứng minh rằng
\(\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\le\sqrt{3}\)
Bài 5: Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn \(x+y+z\ge3\)Chứng minh rằng
\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)
B3 mk tìm đc cách giải r nhưng bạn nào muốn thì trả lời cg đc
Các bạn giải giúp mình B2 và B5 nhé. Mấy bài kia mình giải được rồi.
Bài 15: Cho abc , , là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c\(\ge\) abc. Chứng minh rằng hai trong ba bất đẳng thức sau là đúng \(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{6}{c}\ge6\); $\frac{2}{b}+\frac{3}{c}+\frac{6}{a}$; $\frac{2}{c}+\frac{3}{a}+\frac{6}{b}$