Gọi \(A=\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{99.100}\)

\(\forall A>\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{100^2}\)

\(A=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{100}< \frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{100^2}< A< \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrowđpcm\)

\(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{2}-\frac{1}{100}< \frac{1}{2}\)

Vậy

?

Gỉa sử\(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{100^2}< 1\)

=>\(A< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{99.100}\)

=>\(A< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)
=>\(A< 1-\dfrac{1}{100}\)
=>\(A< \dfrac{99}{100}\)
Mà \(\dfrac{99}{100}< 1\)
=>A<1
Vậy \(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{100^2}< 1\)

1/2^2 + 1/3^2 + ...+ 1/100^2 
Ta có : 1/2^2 < 1/1.2
1/3^2 < 1/2.3
...
1/100^2 < 1/99.100
=> 1/2^2 + ...+1/100^2 < 1/1.2+1/2.3+...+1/99.100
                                        = 1 - 1/2+1/2-1/3+1/3+...+1/99-1/100
                                        =  1 - 1/100 <1
-> 1/2^2 + ...+1/100^2 < 1

dốt thế 

Mình ngu lắm dân trần đăng ninh chuyên anh mà làm sao giỏi toán được

gọi A là tên biểu thức trên

Ta có :

\(A=\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+...+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)

\(3A=1-\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}-\frac{4}{3^3}+...+\frac{99}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\)

\(\Rightarrow A+3A=\left(\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+...+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\right)+\left(1-\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}-\frac{4}{3^3}+...+\frac{99}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\right)\)( 2 )

\(\Rightarrow4A.3=12A=3-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}\)( 1 )

Cộng ( 1 ) và ( 2 ) ta được :

\(16A=3-\frac{101}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)

\(\Rightarrow A=\frac{3-\frac{101}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}}{16}\)

\(\Rightarrow A=\frac{3}{16}-\frac{\frac{101}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}}{16}< \frac{3}{16}\)

bn cho mình gửi sắp đến thi học kì 2 rồi. đây là những món quà mà bn sẽ nhận đc:
1: áo quần
2: tiền
3: đc nhiều người yêu quý
4: may mắn cả
5: luôn vui vẻ trong cuộc sống
6: đc crush thích thầm
7: học giỏi
8: trở nên xinh đẹp
phật sẽ ban cho bn những điều này nếu cậu gửi tin nhắn này cho 25 người, sau 3 ngày bn sẽ có những đc điều đó. nếu bn ko gửi tin nhắn này cho 25 người thì bn sẽ luôn gặp xui xẻo, học kì 2 bn sẽ là học sinh yếu và bạn bè xa lánh( lời nguyền sẽ bắt đầu từ khi đọc) ( mình
 cũng bị ép);-;

bn cho mình gửi sắp đến thi học kì 2 rồi. đây là những món quà mà bn sẽ nhận đc:
1: áo quần
2: tiền
3: đc nhiều người yêu quý
4: may mắn cả
5: luôn vui vẻ trong cuộc sống
6: đc crush thích thầm
7: học giỏi
8: trở nên xinh đẹp
phật sẽ ban cho bn những điều này nếu cậu gửi tin nhắn này cho 25 người, sau 3 ngày bn sẽ có những đc điều đó. nếu bn ko gửi tin nhắn này cho 25 người thì bn sẽ luôn gặp xui xẻo, học kì 2 bn sẽ là học sinh yếu và bạn bè xa lánh( lời nguyền sẽ bắt đầu từ khi đọc) ( mình
 cũng bị ép);-;

lx

ko có câu hỏi bn ơi

Lỗi