)ta co 2007^1=....7 
2007^2=....9 
2007^3=...3 
2007^4=....1 
2007^(4n+1)=....7(voi n la so tu nhien), nhu vay thi theo mot trat tu nhat dinh ta co nhu: 
2007^(4n+3)=....3. (1) 
+) tuong tu 2013^1=....3 
2013^2=...9 
2013^3=.....7 
2013^4=...1 
2013^(4n+1)=...3(voi n la so tu nhien), cung vay thi ta co: 2013^(4n+3)=....7 (2) 
Tu (1) va (2) ta co 2007^2009 - 2013^1999 = 2007^(4n+1) - 2013^(4n+4)=....x0(x la so truoc 0)=......x*10 =>....x*10*0.7 la so tu nhien=>N la so tu nhien

\(N=0,7.\left(2007^{2009}-2013^{1999}\right)\)

\(=\frac{7}{10}.\left(2007^{2009}-2013^{1999}\right)\)

N là số tự nhiên thì ta cần chứng minh \(\left(2007^{2009}-2013^{1999}\right)⋮10\)

Ta có: \(2007^{2009}=2007^{4.502}.2007=\overline{...1}.2007=\overline{...7}\)

và \(2013^{1999}=2013^{4.499}.2013^3=\overline{...1}.\overline{...7}=\overline{...7}\)

Do đó \(2007^{2009}\)\(-2013^{1999}=\)\(\overline{...7}-\overline{...7}=\overline{...0}\)

Vậy \(\left(2007^{2009}-2013^{1999}\right)⋮10\)

=> đpcm

2007^2009 có tận cùng là: 2009:4 dư 1 => 2007^2009 tận cùng là 7

2013^1999 có tận cùng là: 1999:4 dư 3 => 2013^1999 tận cùng là 7

=> 2007^2009 - 2013^1999 chia hết cho 10 và là 1 so thực

=> N=0,7.10.k=7k là 1 số nguyên

=> N là số nguyên

Chứng minh N là số nguyên ta cần c/m : 2007^2009 – 2013^1999 có chữ số tận cùng bằng 0

xét  2007^2009 = (((2007²)²)^{502 =} 2007.((......9)²)⁵⁰²= 2007.(....1) có tận cùng là 7

xét  2013^1999= (((2013)²)²)⁴⁹⁹= (....7) .( (....9)²)⁴⁹⁹= (....7) . (...1) có cs tận cùng là 7

=>  2007^2009 – 2013^1999 có chữ số tận cùng bằng 0

Vậy N là số nguyên

tk mình nha

Chứng minh N là số nguyên ta cần c/m : 20072009 – 20131999 có chữ số tận cùng bằng 0.Ta có 20072009 = 2007. ( )5022 2((2007) )= 2007 . ( )5022(...9)= 2007. (….1) có chữ số tận cùng bằng 7. 20131999 = 20133 . ( ) ( )499 4992 2 2((2013) ) (...7) (...9) (...7) (...1)= × = × có chữ số tận cùng bằng 7Vậy 20072009 – 20131999 có chữ số tận cùng bằng 0 ⇒ N là một số nguyên.
 

thanks Hải Anh nha

Ta có: \(2007^{2009}-2013^{1999}=2007.2007^{2008}-2013^3.2013^{1996}\)

\(=2007.\left(2007^4\right)^{502}-\left(\overline{.....7}\right).\left(2013^4\right)^{499}\)

\(=2007.\left(\overline{.....1}\right)^{502}-\left(\overline{.....7}\right).\left(\overline{.....1}\right)^{499}\)

\(=2007.\left(\overline{.....1}\right)-\left(\overline{.....7}\right).\left(\overline{.....1}\right)\)

\(=\left(\overline{.....7}\right)-\left(\overline{.....7}\right)=\left(\overline{.....0}\right)\)

Thay vào N

\(\Rightarrow N=0,7.\left(\overline{.....0}\right)=0,7.10.\left(\overline{.....}\right)=\left(\overline{.....}\right).7\)

N là tích của 2 số nguyên nhân với nhau => N là 1 số nguyên

P/s: trình bày ngu 

\(\text{Ta có: }2007^{2009}=2007.\left[\left(2007^2\right)^2\right]^{502}\)

                                 \(=2007.\left(\overline{...9}^2\right)^{502}\)

                                 \(=2007.\left(\overline{...1}\right)^{502}\)

                                 \(=2007.\left(\overline{...1}\right)\)    \(\text{(có chữ số tận cùng là 7)}\)

\(\text{Ta lại có: }2013^{1999}=2013^3.\left(2013^2\right)^{998}\)

                                      \(=\left(\overline{...7}\right).\left(\overline{...9}\right)^{998}\)

                                      \(=\left(\overline{...7}\right).\left(\overline{...1}\right)\) 

                                      \(=\left(\overline{...7}\right)\)     \(\text{(có chữ số tận cùng là 7)}\)

\(\text{Thay vào N:}\)

\(N=0,7.\left(\overline{...0}\right)=0,7.10.\left(\overline{...}\right)=\left(\overline{...}\right).7\)

\(\Rightarrow\text{N là tích của 2 số nguyên nhân với nhau}\) 

\(\Rightarrow\text{N là một số nguyên}\)

\(\text{# học tốt #}\)

≧◔◡◔≦

Ta dùng đồng dư nha !

Giả sử N là số tự nhiên,khi đó \(2007^{2009}-2013^{1999}⋮10\)

Ta có:

\(2007\equiv7\left(mod10\right)\Rightarrow2007^4\equiv7^4\left(mod10\right)\equiv2401\left(mod10\right)\equiv1\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow2007^{2008}\equiv1\left(mod10\right)\Rightarrow2007^{2009}\equiv7\left(mod10\right)\)

\(2013\equiv3\left(mod10\right)\Rightarrow2013^4\equiv3^4\left(mod10\right)\equiv81\left(mod10\right)\equiv1\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow2013^{1998}\equiv1\left(mod10\right)\Rightarrow2013^{1999}\equiv3\left(mod10\right)\)

Khi đó:

\(2007^{2009}-2013^{2019}\equiv7-3\left(mod10\right)\equiv4\left(mod10\right)\)

Vậy ta có đpcm

N = \(0,7.\left(2007^{2009}-2013^{1999}\right)\)

N = \(\frac{7}{10}.\left(2007^{2009}-2013^{1999}\right)\)

Để N đạt giá trị nguyên 

=> 2007²⁰⁰⁹ - 2013¹⁹⁹⁹ chia hết cho 10

Ta có :

2007²⁰⁰⁹ = 2007.(2007⁴)⁵⁰² = 2007.(.....1)⁵⁰² = 2007.(......1) = (......7)

2013¹⁹⁹⁹ = 2013³.(2013⁴)⁴⁹⁹ = (......7).(.....1)⁴⁹⁹ = (.....7).(.....1) = (......7)

2007²⁰⁰⁹ - 2013¹⁹⁹⁹ = (......7) - (.....7) = 0

=> 2007²⁰⁰⁹ - 2013¹⁹⁹⁹ chia hết cho 10

=> N là số nguyên