<< nhắc lại một số tính chất cơ bản: 
* n² hoặc chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1 
* n² hoặc chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1 
* n^4 hoặc chia hết cho 5 hoặc chia 5 dư 1 
chứng minh đơn cũng đơn giản (xem như là các bài tập nhỏ) 
- - - 
1a) A = n²(n²-1) 
* vì n² chia 3 dư 0 hoặc 1 nên n² và n²-1 có một số chia hết cho 3 
=> n²(n²-1) chia hết cho 3 
* n² chia 4 dư 0 hoặc 1 nên n²(n²-1) có một số chia hết cho 4 
=> n²(n²-1) chia hết cho 4 
vì 3 và 4 là hai số nguyên tố cùng nhau nên A = n²(n²-1) chia hết cho 3.4 = 12 

1b) B = n²(n^4-1) 
* B = n²(n²-1)(n²+1) 
theo câu a thì có n²(n²-1) chia hết cho 12 => B chia hết cho 12 

* từ lí thuyết trên có n² chia 5 dư 0 hoặc 1 => n² và n²-1 có 1 số chia hết cho 5 
=> B chia hết cho 5 
do 12 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau => B chia hết cho 12*5 = 60 

c) C = mn(m^4-n^4) 
* nếu m, hoặc n có số chia hết cho 5 => C chia hết cho 5 
Xét m và n đều không chia hết cho 5, từ lí thuyết trên ta có: 
m^4 chia 5 dư 1 và n^4 chia 5 dư 1 => (m^4 - n^4) chia 5 dư 1-1 = 0 
tóm lại ta có C chia hết cho 5 

* C = mn(m^4-n^4) = mn(m²-n²)(m²+n²) 
nếu m hoặc n có số chẳn => C chia hết cho 2 
nếu m và n cùng lẻ => m² và n² là hai số lẻ => m²-n² chẳn 
tóm lại C chia hết cho 2 

* nếu m, n có số chia hết cho 3 => C chia hết cho 3 
nếu m và n đều không chia hết cho 3, từ lí thuyết trên ta có: 
m² và n² chia 3 đều dư 1 => m²-n² chia hết cho 3 
tóm lại C chia hết cho 3 

Thấy C chia hết cho 5, 2, 3 là 3 số nguyên tố 
=> C chia hết cho 5*2*3 = 30 

1d) D = n^5 - n = n(n^4-1) 
* nếu n chia hết cho 5 => D chia hết cho 5 
nếu n không chia hết cho 5 => n^4 chia 5 dư 1 => n^4-1 chia hết cho 5 
tóm lại ta có D chia hết cho 5 

* D = n(n²-1)(n²+1) = (n-1)n(n+1)(n²+1) 
tích của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 6 (vì có đúng 1 số chia hết cho 3, và ít nhất 1 số chia hết cho 2) 
=> D chia hết cho 6 
D chia hết cho 2 số nguyên tố cùng nhau là 5 và 6 => D chia hết cho 5*6 = 30 

1e) E = 2n(16-n^4) = 2n(1-n^4 + 15) = 2n(1-n^4) + 30n = E' + 30n 
từ câu d ta đã cứng mình D = n(n^4-1) chia hết cho 30 
=> n(1-n^4) = -n(n^4-1) chia hết cho 30 => E' chia hết cho 30 
=> E = E' + 30n chia hết cho 30 

2) P = n^5/5 + n^3/3 + 7n/15 = 
= (n^5 - n + n)/5 + (n^3 -n +n)/3 + 7n/15 
= (n^5 -n)/5 + (n^3 -n)/3 + n/5 + n/3 + 7n/15 

* từ câu d ta có n^5 - n chia hết cho 30 => n^5 -n chia hết cho 5 
=> (n^5 - n)/5 = a (thuộc Z) 

* n^3 - n = n(n²-1)(n²+1) = (n-1)n(n+1)(n²+1) có tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 
=> (n^3 - n)/3 = b (thuộc Z) 

* n/5 + n/3 + 7n/15 = 15n/15 = n (thuộc Z) 

Vậy: P = a + b + n thuộc Z 
- - - - -

Nguồn:__|trituyet|__

các bạn ủng hộ cho mình tròn 1140 đi

Viết kiểu gì thế , ko hiểu đề

Nguyễn Quang Thành đề thế mà ko hỉu

Ta có :

A = 13! - 11! = 11! . 12 . 13 - 11! = 11! . (12 . 13 - 1) = 11! . 155 chia hết cho 155

CM. Ta có thể viết 100...01 = 103n+ 1, trong đó n là số nguyên dương. Sử dụng hằng đẳng thức a3+ b3= (a+b)(a2- a b + b2) với a = 10nvà b = 1, ta thu được (10n)3+ 1 = (10n+ 1)(102n- 10n+ 1). Do (10n+ 1) > 1 và (102n- 10n+ 1) > 1 khi n là nguyên dương nên ta có đpcm.

bạn tham khảo nha

Hahah cion hấp !

Ta có:

10²ⁿ-1=10²ⁿ-10ⁿ+10ⁿ-1=10ⁿ(10ⁿ-1)+(10ⁿ-1)\(⋮13\)

10³ⁿ-1=10³ⁿ-10²ⁿ+10²ⁿ-1=10²ⁿ(10ⁿ-1)+(10²ⁿ-1)\(⋮13\)

cậu t đi

\(5^{2016}\) ?

cậu ra nhiều thế ai mà trả lời cho được!

dịch

Các bạn giúp mìn bài nì ha. Bạn nào giải được trong vòng 5 phút thì mìn thanks lém lém:

Tính A= 1.3^3+3.5^3+5.7^3+...+n.(n+2)^3(với n là số tự nhiên lẻ)

em nghĩ là 115

sửa lại đề 

tìm số tự nhiên a sao cho a chia cho 3;5;7 được số lần lượt là 2;3;4

a= 3m+2 (m thuộc N)=> 2a=6m+4  chia 3 dư 1

a=5q+3 (q thuộc N)=>2a=10q+6 chia 5 dư 1

a=7d+4(d thuộc N)=>2a=14d+8 chia 7 dư 1

=> 2a -1 chia hết cho 3;5;7

=>2a-1 thuộc BC (3;5;7)

BC(3;5;7)=\(\hept{\begin{cases}\\\end{cases}}105;310;620;1240;..........\)}   =>2a-1={105;310;620;1240;.....}

2a={106;311;621;1241...}

 mà a : 3 dư 2

       a : 5 dư 3

       a : 7 dư 4

=> 2a phải chia hết cho 2a-1

=> 2a=106

=>a=106:2

=>a=53