Chứng minh rằng với a,b€N.ta có a^5×b+a×b^5 chia hết cho 30
Chứng minh rằng với mọi số nguyên a,b, c thì (a−b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5
chia hết cho 30.
Link câu trả lời của mk
https://olm.vn/hoi-dap/detail/1309800733128.html
1. Chứng minh rằng với mọi n thuộc N thì 60n+45 chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 30.
2. Cho a,b thuộc N. Hỏi số ab(a + b ) có tận cùng bằng 9 không ?
3. Cho n thuộc N. Chứng minh rằng 5n - 1 chia hết cho 4.
4. Chứng minh rằng :
a, ab + ba = 11.
B, ab - ba chia hết cho 9 với a>b.
5. Cho a,b thuộc N và a - b chia hết cho 7. Chứng minh rằng 4a + 3b chia hết cho 7.
Cho các số nguyên a,b,c Chứng minh rằng nếu tổng a+b+c chia hết cho 30 thì a5+b5+c5 chia hết cho 30
Ta có: (a^5-a)= a(a^4-1)
= a(a^2-1)(a^2+1)
= a(a-1)(a+1)(a^2+1)
= a(a-1)(a+1)(a^2-4+5)
= a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) + 5a(a-1)(a+1)
Do a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) là tích 5 số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 2,3,5 => chia hết cho 2.3.5=30
5a(a-1)(a+1) chia hết cho 2,3,5 => chia hết cho 2.3.5=30
=> a^5-a chia hết cho 30
=> (a^5-a)+(b^5-b)+(c^5-c) chia hết cho 30
Mà a+b+c chia hết cho 30
=> a^5+b^5+c^5 chia hết cho 30
Chứng minh rằng với mọi số nguyên a và b :
a, a3b - ab3 chia hết cho 6
b, a5b - ab5 chia hết cho 30
a)
b) đặt A=a^5b-ab^5=a(a^4b-b^5)=a(b(a^4-b^4))=ab... chia hết cho 2 (1)
+) Nếu a,b đồng du khi chia cho 3 thi a-b chia het cho 3 suy ra A chia het cho 3 (2)
+) Nếu a,b ko dong du khi chia cho 3 thi a+b chia het cho 3 suy ra Âchi het cho 3 (3)
Tu (2),(3) suy ra A luon chia het cho 3 (4)
Ma ab(a-b)(a+b)(a^2+b^2) chia het cho 5 (5)
Tu (1),(4),(5) suy ra A chia het cho 2;3;5 Vậy A chia het cho 30
Chứng minh rằng a5b-ab5 chia hết cho 30 với a,b là 2 số nguyên bất kì
Phân tích thành nhân tử:
a5b-ab5=a5b-ab-ab2+ab=ab(a4-1)-ab(b2-1)=ab(a2-1)(a2+1)-ab(b2-1)(b2+1)=ab(a-1)(a+1)(a2+1)-ab(b-1)(b+1)(b2+1)=ab(a-1)(a+1)(a2-4+5)-ab(b-1)(b+1)(b2-4+5)=ab(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5ab(a-1)(a+1)-ab(b-1)(b+1)(b-2)(b+2)-5ab(b-1)(b+1)
Ta Thấy:(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) là 5 số TN liên tiếp
=>(a-2)(a-1)ab(a+1)(a+2)chia hết cho 30(trong 5 số TN liên tiếp có 1 số chia hết cho 2 cho 3 cho 5)
TT=>a(a+1)(a-1) chia hết cho 6=>5ab(a-1)(a+1)chia hết cho 30
cmtt =>đpcm
tại sao bên kia là ab^5 mà bên này lại ab^2
Đặt \(A=a^5b-ab^5=a\left(a^44b-b^5\right)=a\left[b\left(a^4-b^4\right)\right]=ab...\) chia hết cho 2. (1)
+) Nếu a,b đồng dư khi chia cho 3 thì a-b chia hết cho 3 suy ra A chia hết cho 3. (2)
+) Nếu a,b không đồng dư khi chia cho 3 thì \(a+b\) chia hết cho 3 suy ra A hết cho 3. (3)
Từ (2) và (3) suy ra A luôn chia hết cho 3. (4)
Mà \(ab\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\) chia hết cho 5. (5)
Từ (1); (4) và (5) suy ra A chia hết cho 2; 3; 5.
Vậy A chia hết cho 30.
Chứng minh rằng a5b - ab chia hết cho 30 với a,b là hai số nguyên bất kì.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên a và b:
a) a3b-ab3 chia hết cho 6
b) a5b-ab5 chia hết cho 30
a) \(A=a^3b-ab^3=\left(a^3b-ab\right)-\left(ab^3-ab\right)\)
\(=b.a\left(a^2-1\right)-a\left(b^3-b\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)b-a\left(b-1\right)b\left(b+1\right)\)
\(Do:\)\(a-1\) \(;\)\(a\) \(;\) \(a+1\) là 3 số liên tiếp nên :
\(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\) \(⋮6\)
Tương tự : \(\left(b-1\right)b\left(b+1\right)\) \(⋮6\)
\(\Rightarrow\) \(A\) \(⋮\)\(6\)
\(a^5b-ab^5=a^5b-ab\left(ab^5-ab\right)\)
\(=b\left(a^5-a\right)-a\left(b^5-b\right)\)
Xét : \(m^5-m=m\left(m^4-1\right)=m\left(m^2-1\right)\left(m^2+1\right)\)
\(=m\left(m^2-1\right)\left(m+1\right)\left(m^2+4-5\right)\)
\(=m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m^2-4\right)+5\left(m-1\right)\left(m+1\right)\)
\(=\left(m-2\right)\left(m-1\right)m\left(m+1\right)\left(m+2\right)+5\left(m-1\right)m\left(m+1\right)\)
Ta thấy : \(\left(m-2\right);\left(m-1\right);m;\left(m+1\right);\left(m+2\right)\) là 5 số tự nhiên liên tiếp nên :
\(\left(m-2\right)\left(m-1\right)m\left(m+1\right)\left(m+2\right)\) \(⋮\) \(6\) \(\left(1\right)\)
\(m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\) \(⋮\)\(6\)
\(5⋮5\)
\(\Rightarrow\) \(5m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\) \(⋮\)\(30\) \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)suy ra \(\left(m^5-m\right)\) \(⋮\)\(30\)
\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}b\left(a^5-a\right)⋮30\Rightarrow\left(a^5b-ab^5\right)⋮30\\a\left(b^5-b\right)⋮30\end{cases}}\)
Chứng minh rằng A=a5b-ab5=ab(a+b)(a-b)(a2+b2) và chứng minh A chia hết cho 30
Ta có \(A=a^5b-ab^5=a^5b-ab-ab^5+ab\)
\(A=\left(a^5b-ab\right)-\left(ab^5-ab\right)\)
\(A=b\left(a^5-a\right)-a\left(b^5-b\right)\)
Ta có \(m^5-m=m\left(m^4-1\right)=m\left(m^2-1\right)\left(m^2+1\right)\)
\(=m\left(m+1\right)\left(m-1\right)\left(m^2-4+5\right)\)
\(=m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m^2-4\right)-5m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\)
\(=m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m-2\right)\left(m+2\right)-5m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\)
\(=\left(m-2\right)\left(m-1\right)m\left(m+1\right)\left(m+2\right)-5\left(m-1\right)m\left(m+1\right)\)
Vì \(m-2;m-1;m;m+1;m+2\) là 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 ; 3 ; 5
Mà \(\left(2;3;5\right)=1\)
\(\Rightarrow\left(m-2\right)\left(m-1\right)m\left(m+1\right)\left(m+2\right)\) chia hết cho \(2\times3\times5=30\)
\(\Rightarrow m^5-m\) chia hết cho 30
\(\Rightarrow a^5-a\) và \(b^5-b\) Chia hết cho 30
\(\Rightarrow b\left(a^5-a\right)-a\left(b^5-b\right)\) chia hết cho 30
\(\Rightarrow A=a^5b-ab^5\) chia hết cho 30
Vậy A chia hết cho 30
Bài 6
a, chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thuộc N thì 60n +15 chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 30
b, chứng minh rằng không có số tự nhiên nào chia 15 dư 6 , chia 9 dư 1
c, chứng minh rằng 1005a +2100b chia hết cho 15 , với mọi số tự nhiên a,b thuộc N
d, chứng minh rằng A= n2+n+1 không chia hết cho 2 và 5 với mọi số tự nhiên n thuộc N
a,60 chia hết cho 15 => 60n chia hết cho 15 ; 45 chia hết cho 15 => 60n+45 chia hết cho 15 (theo tính chất 1)
60n chia hết cho 30 ; 45 không chia hết cho 30 => 60n+45 không chia hết cho 30 (theo tính chất 2)
b,Giả sử có số a thuộc N thoả mãn cả 2 điều kiện đã cho thì a=15k+6 (1) và a=9q+1.
Từ (1) suy ra a chia hết cho 3, từ (2) suy ra a không chia hết cho 3. Đó là điều vô lí. Vậy không có số tự nhiên nào thoả mãn đề.
c,1005 chia hết cho 15 => 1005a chia hết cho 15 (1)
2100 chia hết cho 15 => 2100b chia hết cho 15 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 1005a+2100b chia hết cho 15 (theo tính chất 1)
d,Ta có : n^2+n+1=nx(n+1)+1
nx(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 suy ra nx(n+1)+1 là một số lẻ nên không chia hết cho 2.
nx(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên không có tận cùng là 4 hoặc 9 nên nx(n+1)+1 không có tận cùng là 0 hoặc 5, do đó nx(n+1)+1 không chia hết cho 5.
Mình xin trả lời ngắn gọn hơn! a)60 chia hết cho 15=> 60n chia hết cho 15 15 chia hết cho 15 =>60n+15 chia hết cho 15. 60 chia hết cho 30=>60n chia hết cho 30 15 không chia hết cho 30 =>60n+15 không chia hết cho 30 b)Gọi số tự nhiên đó là A Giả sử A thỏa mãn cả hai điều kiện => A= 15.x+6 & = 9.y+1 Nếu A = 15x +6 => A chia hết cho 3 Nếu A = 9y+1 => A không chia hết cho 3 => vô lí.=> c) Vì 1005;2100 chia hết cho 15=> 1005a; 2100b chia hết cho 15. => 1500a+2100b chia hết cho 15. d) A chia hết cho 2;5 => A chia hết cho 10. => A là số chẵn( cụ thể hơn là A là số có c/s tận cùng =0.) Nếu n là số chẵn => A là số lẻ. (vì chẵn.chẵn+chẵn+lẻ=lẻ) Nếu n là số lẻ => A là số lẻ (vì lẻ.lẻ+lẻ+lẻ=lẻ) => A không chia hết cho 2;5