vì 10²⁰¹¹=2011 số 10 nhân với nhau , 10 ²⁰¹² = 2012 số 10 nhân với nhau 

ta biết nếu muốn abcd chia hết cho 9 thì (a+b+c+d) phải chia hết cho 9

=> 10......000+1000....000000+ 16

=>(1+1+16+0+0+0+0+....0+0+0+0) =18

vì 18 chia hết cho 9 nên (10²⁰¹¹+10²⁰¹²+16) chia hết cho 9

10²⁰¹¹=100..........0                                                                                                                                                                                100²⁰¹²=100............0                              thay vao                                                                                                                                                                100...........0+100........0+16=1000.....100.......16                                                                                                        suy ra 1+0+0+......+1+0+.......+1+6=9chia hết cho 9 (ĐPCM)

\(10A=10^{2012}+10^{2013}+10^{2014}+...+10^{2019}+160\)

\(9A=10A-A=10^{2019}-10^{2011}+160-16\)

\(9A=10^{2011}\left(10^8-1\right)+9\cdot16\)

\(9A=10^{2011}.99999999+9.16\)

\(9A=10^{2011}.11111111.9+9.16\)

\(A=10^{2011}.11111111+16\)
__________________________________________

\(A⋮48\Rightarrow A⋮16;A⋮3\) (1)

\(10:3\) dư 1

\(10^2:3\) dư 1

...

\(\Rightarrow10^{2011}:3\) dư 1

\(11111111=11100000+11100+11\)

\(11100000⋮3;11100⋮3;11:3\) dư 2

\(\Rightarrow11111111:3\) dư 2

\(16:3\) dư 1

\(\Rightarrow A:3\) dư \(1.2+1=3\)

\(\Rightarrow A⋮3\) (2)
__________________________________________

\(10^{2011}=2^{2011}.5^{2011}=2^4.2^{2007}.5^{2011}⋮2^4=16\)

Vì \(10^{2011}⋮16\) \(\Rightarrow10^{2011}.11111111⋮16\)

\(16⋮16\)

\(\Rightarrow A⋮16\) (3)

_________________________________________

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(A⋮48\) (đpcm)

hẻ :D????

ta có : 

A chia hết cho 8 do từng hạng tử của A chi hết cho 8

mà \(10^{2012},10^{2011},10^{2010},10^{2009}\text{ chia 3 dư 1}\)

thế nên \(A\text{ đồng dư 1+1 +1 +1 +8 =12 khi chia cho 3}\)

Hay A cũng chia hết cho 3. Vậy A vừa chia hết cho 8 vừa chia hết cho 3 nên A chia hết cho 24

Ff

44444

ta có: 3^2014=(3^2)^1007=9^1007=......9

            1^2012=.....1

=>2013^2014+2011^2012=....9+....1=........0 chia hết 10

vậy 2013^2014+2011^2012 chia hết 10