Gọi d = ƯCLN ( 14n + 3 ; 21n + 5 )

Ta có :

14n + 3 \(⋮\)d ; 21n + 5 \(⋮\)d

=> 3 ( 14n + 3 ) \(⋮\)d ; 2 ( 21n + 5 ) \(⋮\)d

=> 42n + 9 \(⋮\)d ; 42n + 10 \(⋮\)d

=> ( 42n + 10 ) - ( 42n + 9 ) \(⋮\)d

=> 1 \(⋮\)d

=> d \(\in\){ 1 ; - 1 }

=> \(\frac{14n+3}{21n+5}\)là phân số tối giản

kho ng bi et

Gọi UCLN(21n+4,14n+3)=d

Ta có:21n+4 chia hết cho d

         14n+3 chia hết cho d

=>2(21n+4) chia hết cho d

    3(14n+3) chia hết cho d

=>42n+8 chia hết cho d

    42n+9 chia hết cho d

=>(42n+9)-(42n+8) chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

               Vậy \(\frac{21n+4}{14n+3}\) tối giản

Goi d là ƯCLN ( 21n + 4 ; 14n + 3 )

=> 21n + 4 ⋮ d <=> 42n + 8 ⋮ d 

=> 14n + 3 ⋮ d <=> 42n + 9 ⋮ d 

=> [ ( 42n + 8 ) - ( 42n + 9 ) ] ⋮ d

=> 1 ⋮ d => d = 1

Vì ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 1 =>  \(\frac{21n+4}{14n+3}\) là phân số tối giản

Gọi d là  UCLN của tử và mẫu

12n+1 chia hết cho d                  60n+5 chia hết cho d

                                =>

30n+2 chia hết cho d                  60n+4 chia hết cho d

=>(60n+5)-(60n+4) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

d thuộc Ư(1)=1

ƯCLN(12n+1;30n+2)=1

Vậy 12n+1/30n+2 là p/s tối giản

Gỉa sử phân số \(\frac{b-a}{b}\)chưa tối giản. Như vậy b - a và b có ước chung là d > 1

Ta có b - a = dq₁ (1) và b = dq₂ (2) , trong đó q₁ , q₂  thuộc N và q₂ > q₁.

Từ (1) ; (2) suy ra a = d(q₂ - q₁ ) nghĩa là a cũng có ước là d.

Như vậy a và b có ước chung là d > 1 trái với giả thiết \(\frac{a}{b}\) là phân số tôi giản

Vậy nếu \(\frac{a}{b}\) tối giản thì \(\frac{b-a}{b}\) cũng tối giản 

Để: \(\frac{2n+3}{3n+5}\)là phân số tối giản thì ƯCLN(2n+3;3n+5)=1

Gọi ƯCLN(2n+3;3n+5) = d

Ta có: 2n+3 chia hết cho d => 3(2n+3) chia hết cho d hay 6n+9 chia hết cho d              (1)

Mặt khác: 3n+5 chia hết cho d => 2(3n+5) chia hết cho d hay 6n+10 chia hết cho d            (2)

Từ (1) và (2) => (6n+10)-(6n+9) chia hết cho d => 1 chia hết cho d  => d=1 hoặc d=-1

Do: d= ƯCLN(2n+3;3n+5)   => d=1  => \(\frac{2n+3}{3n+5}\)là phân số tối giản  => đpcm

 (18n+3)/(21n+7) = [(21n+7)-(3n+4)]/(21n+7)

= 1 - (3n+4)/(21n+7) là phân số tối giản <=> (3n+4)/(21n+7) tối giản 
<=> (21n+7)/(3n+4) tối giản

<=> [7.(3n+4) - 21]/(3n+4) = 7 - 21/(3n+4) tối giản 
<=> 21/(3n+4) = (3.7)/(3n+4) tối giản

<=> 7/(3n+4) tối giản (*) (vì 3n+4 không là bội của 3) 
(*) <=> 3n+4 không chia hết cho 7

<=> 3n # 7k+3 trong đó k là bội của 3 (vì VT là bội của 3)

<=> 3n # 21m+3 (với k = 3m)

<=> n # 7m+1 (m thuộc Z) 
 

gọi d là ƯCLN ( n + 2 ; 2n + 3 )

Ta có : n + 2 \(⋮\)d \(\Rightarrow\)2 . ( n + 2 ) \(⋮\)d ( 1 )

           2n + 3 \(⋮\)d ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\)2 . ( n + 2 ) - ( 2n + 3 )

= ( 2n + 4 ) - ( 2n + 3 ) = 1 \(⋮\)d

\(\Rightarrow\)d = 1

Mà phân số tối giản thì có ƯCLN của tử số và mẫu số bằng 1

Vậy phân số \(\frac{n+2}{2n+3}\)là phân số tối giản

để phân số là phân số tối giản điều kiên là : \(\left(n+2;2n+3\right)=1\)

Ta gọi ước chung lớn nhất của \(n+2;2n+3\)là \(d\)ta có: \(\hept{\begin{cases}n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(n+2\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}2n+4⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow n+4-\left(n+3\right)⋮d\Rightarrow n+4-n-3⋮d\)\(\Rightarrow1⋮d\Leftrightarrow1\)

do đó \(UCLN\left(n+2;2n+3\right)=1\)vậy phân số là phân số tối giản

ta có:giả sử ƯCLN (n+2 ;2n+3)=d

ta có n+2=2(n+2)=2n+4 (1)

        2n+3=2n+3 (2)

Từ (1) và (2) 

ta có :(2n+4)-(2n+3) chia hết cho d

         1 chia hết cho d

          d thuộc ước của 1

       nên n+2 và 2n+3 nguyên tố cùng nhau

Vậy n+2/2n+3 là phân số tối giản